問題
平面上で座標と座標がともに整数である点を格子点と呼ぶ．
(1) のグラフ上に無限個の格子点が存在することを示せ．
(2) ，は実数でとする．のグラフ上に，点(0,0)以外に格子点が2つ存在すれば，無限個存在することを示せ．
方針
(1) は整数点を無限に作ればよいので，分母 を同時に消すように を選ぶ。(2) は，原点以外の2つの格子点を とおき，2本の式から が有理数であることを示す。その後， の共通分母の倍数を に選べば，対応する が必ず整数になり，無限個の格子点が得られる。
解答
(1) 曲線 を考える。分母 と を同時に消すため， を の倍数にとる。 とおくと， である。 が整数なら も整数である。したがって はすべて格子点である。
整数 は無限に存在し，それに対応する も互いに異なる。よって，この曲線上には無限に多くの格子点が存在する。
(2) 曲線 が，原点以外に2つの格子点を通るとする。それらを とおく。ただし格子点なので は整数であり，原点以外の点であるから である。また関数のグラフ上の異なる2点なので， としてよい。
この2点が曲線上にあることから である。両式をそれぞれ で割ると となる。両式を引くと である。 より となるから， は有理数である。さらに なので， も有理数である。
したがって，ある正の整数 と整数 を用いて と表せる。ここで とおくと， である。 が整数なら は整数である。
よって はすべて格子点であり，整数 を動かせば互いに異なる点が無限に得られる。したがって，曲線 上には無限に多くの格子点が存在する。
別解。2点を通る条件を連立方程式として解いてもよい。
であり，行列式は である。 だからこの行列式は でない。よって となり， は有理数である。あとは本解と同様に， の共通分母の倍数を にとれば無限個の格子点が得られる。