問題
座標空間に8点
をとり，線分の中点をとする．線分上の点をとし，3点，，を通る平面と線分および線分との交点をそれぞれ，とする．
(1) の座標をで表せ．
(2) 四面体の体積をとする．が線分上をからまで動くとき，の最大値と最小値およびそれらを与えるの値をそれぞれ求めよ．
出典：名古屋大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
まず座標を設定し，3点 を通る平面の方程式を求める。点 はそれぞれ線分 上の点として1変数で表し，平面の方程式に代入すれば座標が決まる。体積は四面体 を底面 と高さで見ると計算が簡単である。最後に得られた を で微分して最大・最小を調べる。
解答
座標を とおく。 は の中点だから であり， は 上の点なので と表される。
(1) 平面 は原点を通るので，方程式を とおく。点 を代入すると である。例えば とおくと ， より となる。したがって平面 の方程式は である。
点 は線分 上にある。 だから とおける。これを平面の方程式に代入すると である。整理して となるから よって
である。 では であり，この は を満たす。
また，点 は線分 上にあるから とおける。平面の方程式に代入すると より である。したがって である。
(2) 四面体 の体積を求める。点 はすべて平面 上にあるので， を底面にとる。 であり， だから，底面 の面積は
である。高さは点 から平面 までの距離であり， の 座標に等しい。したがって である。
よって
である。 で最大・最小を調べる。微分すると である。区間 では だから， の符号は の符号と同じである。したがって
となる。
端点と臨界点での値は
である。よって である。