問題
関数について，次の問いに答えよ．必要ならば，任意の自然数に対してが成り立つことを用いてよい．
(1) のグラフの変曲点を求め，グラフの概形をかけ．
(2) とする．点を通るのグラフの接線が1本だけ存在するようなの値を求めよ．また，がその値をとるとき，のグラフ，その接線および軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
方針
まず を計算し，変曲点・増減・凹凸からグラフの概形を決める。接線が を通る条件は，接点を とおいて，接線の 切片を と表すことで1変数の問題になる。ちょうど1本の接線をもつためには，この切片関数が正の範囲で最大値をとるところを調べればよい。面積は，得られた接線と曲線の上下関係を確認して積分する。
解答
(1) である。微分すると であり，さらに
である。 だから， となるのは である。対応する 座標は なので，変曲点は である。
凹凸は である。また より零点は である。
増減については が と同値なので， である。 はこの2点の外側で負，内側で正となる。したがって，グラフは
する。さらに である。これらをもとに， で 軸と交わり， と で凹凸が変わる概形を描けばよい。
(2) 接点を とする。接線の方程式は である。この接線が を通る条件は である。
ここで だから である。したがって を考えればよい。 であるから， が必要であり，これは を意味する。 での の増減を調べると である。したがって において， は で増加し， で減少する。よって正の値の範囲で最大値をとるのは のときであり，その値は である。 なら接点が2個， なら接点が1個， なら接点が存在しない。したがって，ちょうど1本の接線をもつのは のときである。
このとき接点は である。接線は であり， だから である。
求める領域は， 軸 ，曲線 ，接線 で囲まれる。接点は であり， で接線が曲線の上にあるので，面積 は である。
まず なので
である。また
である。したがって
である。