名古屋大学 2010年度理系数学第3問解答・解説

問題

はじめに， $A$ が赤玉を1個， $B$ が白玉を1個， $C$ が青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ $\frac{1}{2}$ の硬貨を投げ，表が出れば $A$ と $B$ の玉を交換し，裏が出れば $B$ と $C$ の玉を交換する，という操作を考える．この操作を $n$ 回 $(n = 1, 2, 3, \dots)$ くり返した後に $A$ ， $B$ ， $C$ が赤玉を持っている確率をそれぞれ $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ とおく．

(1) $a_{1}$ ， $b_{1}$ ， $c_{1}$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ を求めよ．

(2) $a_{n + 1}$ ， $b_{n + 1}$ ， $c_{n + 1}$ を $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ で表せ．

(3) $a_{n}$ ， $b_{n}$ ， $c_{n}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2010年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

赤球の位置を3状態の確率として追跡し，1回の操作による遷移から漸化式を立てる。明示式を求めるには，和 $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ ，差 $a_{n} - c_{n}$ ，および $b_{n}$ の1次漸化式に分解するとよい。最後に $a_{n}$ と $c_{n}$ は，和と差から復元する。

解答

(1) 最初，赤球は箱 $A$ に入っている。

1回目の操作では，表なら $A$ と $B$ を入れ替えるので赤球は $B$ に移り，裏なら $B$ と $C$ を入れ替えるので赤球は $A$ に残る。したがって $a_{1} = \frac{1}{2}, b_{1} = \frac{1}{2}, c_{1} = 0$ である。

2回目は，1回目後の位置からもう一度場合分けすればよい。赤球が $A$ にある確率は $1/2$ ， $B$ にある確率は $1/2$ である。赤球が $A$ にあるとき，次に表が出ると $B$ へ移り，裏が出ると $A$ に残る。赤球が $B$ にあるとき，次に表が出ると $A$ へ移り，裏が出ると $C$ へ移る。よって $a_{2} = \frac{1}{2}, b_{2} = \frac{1}{4}, c_{2} = \frac{1}{4}$ である。

(2) $n$ 回目の操作後の確率を $a_{n}, b_{n}, c_{n}$ とする。

次の操作後に赤球が $A$ にあるのは，直前に $A$ にあって裏が出る場合，または直前に $B$ にあって表が出る場合である。よって $a_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} .$ 同様に，次の操作後に赤球が $B$ にあるのは，直前に $A$ にあって表が出る場合，または直前に $C$ にあって裏が出る場合であるから $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + c _{n}}{2} .$ また，次の操作後に赤球が $C$ にあるのは，直前に $B$ にあって裏が出る場合，または直前に $C$ にあって表が出る場合であるから $c_{n + 1} = \frac{b _{n} + c _{n}}{2} .$ したがって

a_{n + 1} b_{n + 1} c_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2}, = \frac{a _{n} + c _{n}}{2}, = \frac{b _{n} + c _{n}}{2}

である。

(3) まず常に $a_{n} + b_{n} + c_{n} = 1$ である。第1式と第3式を引くと

a_{n + 1} - c_{n + 1} = \frac{a _{n} + b _{n}}{2} - \frac{b _{n} + c _{n}}{2} = \frac{a _{n} - c _{n}}{2}

である。 $a_{1} - c_{1} = 1/2$ だから $a_{n} - c_{n} = \frac{1}{2 ^{n}}$ を得る。

また $b_{n + 1} = \frac{a _{n} + c _{n}}{2} = \frac{1 - b _{n}}{2}$ である。これを $b_{n + 1} - \frac{1}{3} = - \frac{1}{2} (b_{n} - \frac{1}{3})$ と書く。 $b_{1} = 1/2$ だから $b_{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ であり，

b_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n - 1} = - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}

となる。よって $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}$ である。

残る $a_{n}, c_{n}$ を求める。 $a_{n} + c_{n} = 1 - b_{n}$ より

a_{n} + c_{n} = 1 - {\frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}} = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}

である。一方で $a_{n} - c_{n} = (\frac{1}{2})^{n}$ である。

したがって，和と差から

a_{n} = \frac{1}{2} {\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} + (\frac{1}{2})^{n}}

すなわち

a_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{n}

である。また

c_{n} = \frac{1}{2} {\frac{2}{3} + \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n} - (\frac{1}{2})^{n}}

より

c_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{n}

である。

以上より

a_{n} b_{n} c_{n} = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} + \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{n}, = \frac{1}{3} - \frac{1}{3} (- \frac{1}{2})^{n}, = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} (- \frac{1}{2})^{n} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2})^{n}

である。

名古屋大学 2010年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

名古屋大学 2010年度
理系数学第3問