問題
袋の中に赤玉と白玉がそれぞれ2つ入っていることと，袋の中に赤玉3つと白玉2つが入っていることが分かっている．
(1) 袋から2つの玉を取り出すとき，取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．
(2) 袋から1つの玉を取り出し，そのあと袋から2つの玉を取り出す．その3つの玉のうち赤玉が2つである確率を求めよ．
(3) 袋から1つの玉を取り出したあとで，2つの玉を袋から取り出すかあるいは2つの玉を袋から取り出すかのどちらかを選択できるとする．できるだけ多くの赤玉を取り出そうと選択したとき，最終的に取り出される赤玉の個数の期待値を求めよ．
方針
(1)は袋 から2個取るとき，各回で赤玉が出る割合を期待値として足せばよい。(2)は袋 から出る色で場合分けし，袋 から赤玉が1個または2個出る確率を組み合わせで求める。(3)は最初に袋 から出た色で残りの袋 の構成が変わるため，その後に袋 から2個取る期待値と袋 から2個取る期待値を比較して，より大きい方を選ぶ。
解答
(1)
袋 には5個中3個の赤玉がある。2個取り出すとき，1個目について赤玉である確率は ，2個目についても，取り出す位置をあらかじめ決めて見れば赤玉である確率は である。したがって赤玉の個数の期待値は である。
(2)
袋 から2個取り出すとき，赤玉が1個である確率は
であり，赤玉が2個である確率は である。
袋 から1個取り出すとき，赤玉が出る確率も白玉が出る確率も である。3個のうち赤玉が2個になるのは，
袋 から赤玉が出て袋 から赤玉が1個出る場合，または，袋 から白玉が出て袋 から赤玉が2個出る場合である。したがって求める確率は
である。
(3)
最初に袋 から赤玉を取り出した場合を考える。この確率は である。袋 には赤1個，白2個が残るので，その袋からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は である。一方，袋 から2個取り出すときの赤玉の期待値は(1)より である。したがってこの場合は袋 を選ぶのがよく，最終的な赤玉の個数の期待値は である。
次に，最初に袋 から白玉を取り出した場合を考える。この確率も である。袋 には赤2個，白1個が残るので，その袋からさらに2個取り出すときの赤玉の期待値は である。これは袋 の期待値 より大きいので，この場合は袋 を選ぶ。最初に赤玉は出ていないから，最終的な赤玉の個数の期待値は である。
以上より，できるだけ多くの赤玉を取り出すように選択したときの期待値は
である。