問題
次の不等式の表す領域をとする．
(1) の概形を描き，その面積を求めよ．
(2) 点が内を動くとき，の最大値と最小値およびそれらの値を取る点の座標を求めよ．
出典：名古屋大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
絶対値の中身と二次式の部分を分けるため，， とおく。すると領域は となり， 平面では上下を に挟まれた形になる。面積は座標変換で単位正方形が面積 の平行四辺形へ移ることから換算する。(2)は なので， の最大・最小を上側境界と下側境界でそれぞれ調べる。
解答
(1)
とおく。このとき不等式は となる。したがって 平面では で表される。概形は，上側が ，下側が の2つの放物線で囲まれた領域である。
面積を換算する。逆変換は である。 平面で 方向に1だけ動くと 平面では だけ動き， 方向に1だけ動くと だけ動く。これらが作る平行四辺形の面積は
である。よって 平面での面積は 平面での面積の 倍である。
したがって の面積は
(2)
逆変換から
である。したがって の最大・最小は の最大・最小から求めればよい。
最大を求めるには，固定した に対して を最大にすればよいので，上側境界 を用いる。このとき であるから，最大値は のとき である。したがって である。このとき より である。
最小を求めるには，下側境界 を用いる。このとき であるから，最小値は のとき である。したがって である。このとき より である。
別解。(2)は 平面で直線 を動かしてもよい。最大値は上側放物線 に接するときで， の最大値 を与える。最小値は下側放物線 に接するときで， の最小値 を与える。そこから に戻せば同じ結果になる。