名古屋大学 2008年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

次の問に答えよ．

(1) $3 x + 2 y ≦ 8$ を満たす0以上の整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ．

(2) $3 x + 2 y ≦ 2008$ を満たす0以上の整数の組 $(x, y)$ の個数を求めよ．

出典：名古屋大学 2008年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

非負整数解の個数は， $x$ を固定して可能な $y$ の個数を足す。(1)は $x = 0, 1, 2$ だけを直接数えればよい。(2)では $0 ≦ x ≦ 669$ となり， $y$ の上限に床関数が出る。 $x$ の偶奇で $x = 2 j$ ， $x = 2 j + 1$ に分けると床関数が外れ，等差数列の和として計算できる。

解答

(1)

$3 x + 2 y ≦ 8$ で $x, y$ は0以上の整数である。 $x$ の取り得る値は $0, 1, 2$ である。 $x = 0$ のとき $2 y ≦ 8$ なので $y = 0, 1, 2, 3, 4$ の5個。 $x = 1$ のとき $2 y ≦ 5$ なので $y = 0, 1, 2$ の3個。 $x = 2$ のとき $2 y ≦ 2$ なので $y = 0, 1$ の2個。

したがって求める個数は $5 + 3 + 2 = 10$ である。

(2)

$x$ を固定すると $0 ≦ y ≦ \frac{2008 - 3 x}{2}$ であり， $x$ は $0 ≦ x ≦ 669$ を満たす整数である。 $x$ の偶奇で分ける。 $x = 2 j$ とおくと， $0 ≦ j ≦ 334$ であり， $0 ≦ y ≦ \frac{2008 - 6 j}{2} = 1004 - 3 j$ である。したがって $y$ の個数は $1005 - 3 j$ である。 $x = 2 j + 1$ とおくと， $0 ≦ j ≦ 334$ であり， $0 ≦ y ≦ \frac{2005 - 6 j}{2} = 1002 + \frac{1}{2} - 3 j$ である。 $y$ は整数なので $0 ≦ y ≦ 1002 - 3 j$ となり， $y$ の個数は $1003 - 3 j$ である。

よって求める個数は

j = 0 \sum 334 (1005 - 3 j) + j = 0 \sum 334 (1003 - 3 j) = 335 \cdot 1005 - 3 \cdot \frac{334 \cdot 335}{2} + 335 \cdot 1003 - 3 \cdot \frac{334 \cdot 335}{2} = 168840 + 168170 = 337010.

名古屋大学 2008年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2008年度
文系数学第3問(a)