問題
袋の中に赤と白の玉が1個ずつ入っている．「この袋から玉を1個取り出して戻し，出た玉と同じ色の玉を袋の中に1個追加する」という操作を回繰り返した後，赤の玉が袋の中に個ある確率をとする．
(1) を求めよ．
(2) 一般のに対しを求めよ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)
方針
赤玉の個数だけに注目する。 回後には赤玉数は から までで，全体の玉数は 個である。次の操作で赤玉数が になるには，直前に赤玉が 個で白を引く場合と，直前に赤玉が 個で赤を引く場合があるので，この2通りから漸化式を立てる。実際には という一様分布が成り立つため，初期値と漸化式への代入で帰納法を完成させる。別解として，各色の出現順序列の確率が赤の回数だけで決まり，その総和が一定になることを数え上げてもよい。
解答
(1)
3回後に赤玉の個数は のいずれかである。一般公式を用いずに確認すると，1回後は である。さらに漸化式を用いるか，直接計算していくと であり，3回後は である。
(2)
回後には全体の玉数は 個である。次の操作後に赤玉が 個であるためには，次の2通りがある。
直前に赤玉が 個で，白玉を引く場合。この確率への寄与は である。直前に赤玉が 個で，赤玉を引く場合。この確率への寄与は である。したがって が成り立つ。ただし範囲外の ， は と考える。
ここで と仮定する。このとき について，端点も含めて上の式から
となる。初期値 では であり，この式に一致する。よって数学的帰納法により である。
別解。 回のうち赤が引かれる回数を とする。赤白の出る順序を1つ固定すると，その確率は であり，これは同じ なら順序によらない。順序の数は 個なので，赤が 回出る確率は となる。ここで とすれば同じ公式を得る。