問題
を実数とする．方程式
が相異なる4個の実数解をもち，これらの解を小さい順に並べたときそれらは等差数列をなすとする．このを求めよ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
偶関数型の4次方程式なので， とおいて2次方程式に下げる。もとの方程式が相異なる4個の実数解をもつには， の2解が相異なる正の数である必要がある。正の2解を とすれば，もとの解は 。これが等差数列になるには，外側と内側の間隔 が中央の間隔 に等しいので， となる。あとは解と係数の関係で を決め，実際に条件を満たすか確認する。
解答
とおく。方程式は となる。もとの方程式が相異なる4個の実数解をもつためには，この についての2次方程式が相異なる正の2解をもつ必要がある。
その2解を とする。このとき，もとの4解は小さい順に である。これらが等差数列をなすには，隣り合う差が等しいので でなければならない。よって であり， である。
解と係数の関係より である。第1式は であり， を代入すると すなわち である。因数分解して となる。 だから である。したがって である。
実際， のとき方程式は すなわち である。解は であり，相異なる4個の実数解で，かつ等差数列をなす。よって求める値は である。
別解。4つの解が偶関数型の方程式の解なので，解は の形に限られる。これを根にもつ4次式は である。元の式と係数を比較すると となる。これより ， を得る。