問題
の辺，，をに内分する点をそれぞれ，，とし，の辺，，をに内分する点をそれぞれ，，とする．このとき直線，，はの重心で交わることを証明せよ．
出典：名古屋大学 2007年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
各頂点を位置ベクトルで表し，内分比 を係数に直して ，さらに を計算する。目標は，三角形 の重心 が直線 ，， のすべてに乗ることを示すことである。例えば を求めたあと， が の定数倍になることを確認すれば， は 上にある。同じ計算が巡回的に成り立つので，3直線は同じ点 で交わる。
解答
点 の位置ベクトルをそれぞれ とする。 は辺 を に内分する点であるから である。同様に
である。
さらに は辺 を に内分する点であるから
である。
三角形 の重心を とすると である。ここで
であり，また である。したがって である。これは，点 が直線 上にあることを意味する。
同様に，巡回的に
の定数倍であり，
の定数倍である。よって は直線 ， 上にもある。
以上より，直線 ，， はすべて三角形 の重心 を通る。したがって3直線は三角形 の重心で交わる。