名古屋大学 2007年度文系数学第2問解答・解説

問題

2つの放物線 $C : y = \frac{1}{2} x^{2}$ ， $D : y = - (x - a)^{2}$ を考える． $a$ は正の実数である．

(1) $C$ 上の点 $P (t, \frac{1}{2} t^{2})$ における $C$ の接線 $l$ を求めよ．

(2) $l$ がさらに $D$ とも接するとき， $l$ を $C$ と $D$ の共通接線という．2本の（ $C$ と $D$ の）共通接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ を求めよ．

(3) 共通接線 $l_{1}$ ， $l_{2}$ と $C$ で囲まれた図形の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 2007年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1)は $C : y = x^{2} /2$ の微分から接線を $t$ で表す。(2)では，その直線が $D : y = - (x - a)^{2}$ にも接する条件を， $D$ の接線の傾きが同じになる点から求める。傾き $t$ の $D$ の接点は $x = a - t /2$ なので，接線の切片を比較すれば $t = 0, 4 a /3$ が出る。(3)は2本の共通接線と $C$ の接点・交点を整理し， $x = 2 a /3$ で積分区間を分ける。第2区間では $C - l_{2} = \frac{1}{2} (x - 4 a /3)^{2}$ と見ると計算が短い。

解答

(1)

$C : y = \frac{1}{2} x^{2}$ の導関数は $y^{'} = x$ である。したがって，点 $P (t, \frac{1}{2} t^{2})$ における接線の傾きは $t$ である。よって接線 $l$ は $y - \frac{1}{2} t^{2} = t (x - t)$ すなわち $y = t x - \frac{1}{2} t^{2}$ である。

(2)

(1)の直線 $y = t x - \frac{1}{2} t^{2}$ が $D : y = - (x - a)^{2}$ にも接する条件を求める。 $D$ の導関数は $y^{'} = - 2 (x - a)$ である。 $D$ 上の接線の傾きが $t$ であるとき，接点の $x$ 座標を $s$ とすると $- 2 (s - a) = t$ だから $s = a - \frac{t}{2}$ である。この点での $D$ の接線は，傾き $t$ ，接点 $(a - \frac{t}{2}, - \frac{t ^{2}}{4})$ を通るので $y = t (x - a + \frac{t}{2}) - \frac{t ^{2}}{4} = t x - a t + \frac{1}{4} t^{2}$ である。

これが $C$ の接線 $y = t x - \frac{1}{2} t^{2}$ と一致するには，切片が等しく $- \frac{1}{2} t^{2} = - a t + \frac{1}{4} t^{2}$ であればよい。整理して $3 t^{2} - 4 a t = 0$ となるから $t = 0, t = \frac{4 a}{3}$ である。したがって共通接線は $l_{1} : y = 0, l_{2} : y = \frac{4 a}{3} x - \frac{8 a ^{2}}{9}$ である。

(3)

$l_{1}$ と $l_{2}$ の交点は， $y = 0$ とおいて $0 = \frac{4 a}{3} x - \frac{8 a ^{2}}{9}$ より $x = \frac{2 a}{3}$ である。また， $l_{2}$ は $C$ に $t = 4 a /3$ で接するので，その接点の $x$ 座標は $\frac{4 a}{3}$ である。

したがって，求める面積 $S$ は

S = \int_{0}^{2 a /3} \frac{1}{2} x^{2} d x + \int_{2 a /3}^{4 a /3} {\frac{1}{2} x^{2} - (\frac{4 a}{3} x - \frac{8 a ^{2}}{9})} d x

である。第2積分の中身は

\frac{1}{2} x^{2} - \frac{4 a}{3} x + \frac{8 a ^{2}}{9} = \frac{1}{2} (x - \frac{4 a}{3})^{2}

であるから

S = [\frac{x ^{3}}{6}]_{0}^{2 a /3} + \frac{1}{2} \int_{2 a /3}^{4 a /3} (x - \frac{4 a}{3})^{2} d x = \frac{4 a ^{3}}{81} + \frac{1}{2} [\frac{( x - 4 a /3 ) ^{3}}{3}]_{2 a /3}^{4 a /3} = \frac{4 a ^{3}}{81} + \frac{4 a ^{3}}{81} = \frac{8 a ^{3}}{81}

である。よって求める面積は $\frac{8 a ^{3}}{81}$ である。

名古屋大学 2007年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2007年度
文系数学第2問