問題
正六面体の各面に1つずつ，サイコロのように，1から6までの整数がもれなく書かれていて，向かい合う面の数の和は7である．このような正六面体が底面の数字が1であるように机の上におかれている．この状態から始めて，次の試行を繰り返し行う．「現在の底面と隣り合う4面のうちの1つを新しい底面にする．」ただし，これらの4面の数字がのとき，それぞれの面が新しい底面となる確率の比はとする．この試行を回繰り返した後，底面の数字がである確率を で表す．
(1) のとき，，，を求めよ．
(2) を求めよ．
出典：名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問
方針
向かい合う面の3組 に分けると，各組の番号の和がすべて7であるため，組どうしの移動確率が簡単になる。まず各組にいる確率を求め，その後で組内の番号比に比例して各面の確率へ戻す。特定の面だけを追うのではなく，3組の確率 を並べると全体が見通しやすい。
解答
向かい合う面の組を とする。どの組も番号の和は7である。底面がある組にあるとき，次の底面は隣り合う4面のいずれかであり，同じ組の向かい合う面には移れない。したがって，次に移れる2つの組の番号和はいずれも7であるから，それぞれの組に移る確率は である。 を， 回目の操作後に底面がそれぞれ に属する確率とする。初めは底面が1なので である。上の観察より となる。これを解くと である。また初期状態と規則が について対称なので であり， から を得る。
最後に，各組の中でどちらの面になるかを決める。たとえば に入るとき，1と6の選ばれ方は番号比 であるから， にいる確率のうち が面1， が面6である。同様にして
したがって について
である。 では面1と面6の確率が0になり，初回には底面1の隣接面にしか移れないこととも一致する。