名古屋大学 2006年度理系数学第2問解答・解説

問題

$s$ を実数とする． $(u_{1}, v_{1}) = (s, 1)$ とし， $(u_{n}, v_{n})$ $(n ≧ 2)$ を次の漸化式で定める．

(u_{n} v_{n}) = (12 - 2 - 1) (u_{n - 1} v_{n - 1})

$s$ が実数全体を動くとき， $(u_{n}, v_{n})$ が描く $x y$ 平面上の図形を $l_{n}$ とする．

(1) 図形 $l_{n}$ $(n ≧ 1)$ の方程式を求めよ．

(2) $l_{2 k - 1}$ ( $k$ は正の整数) と $y$ 軸との交点を中心とし， $l_{2 k}$ に接する円の方程式を求めよ．

出典：名古屋大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

行列を2回かけると $M^{2} = - 3 E$ になることをまず確認する。これにより奇数番目と偶数番目の点を明確に分けて表せるので， $s$ を消去して直線 $l_{n}$ の方程式を得る。円は，中心が奇数番目の直線と $y$ 軸の交点にあり，偶数番目の直線に接するので，点と直線の距離公式から半径を出す。

解答

$M = (12 - 2 - 1)$ とおくと，

M^{2} = (12 - 2 - 1)^{2} = (- 3 0 0 - 3) = - 3 E

である。したがって， $k ≧ 1$ に対して $M^{2 k - 2} = (- 3)^{k - 1} E, M^{2 k - 1} = (- 3)^{k - 1} M$ となる。

まず $P_{2 k - 1}$ は

P_{2 k - 1} = M^{2 k - 2} (s 1) = (- 3)^{k - 1} (s 1)

である。よって $s$ が動くと $y = (- 3)^{k - 1}$ 上を動くから $l_{2 k - 1} : y = (- 3)^{k - 1}$ である。

次に

P_{2 k} = M^{2 k - 1} (s 1) = (- 3)^{k - 1} (s - 2 2 s - 1)

である。点の座標を $(x, y)$ とすると $x = (- 3)^{k - 1} (s - 2), y = (- 3)^{k - 1} (2 s - 1)$ である。 $A = (- 3)^{k - 1}$ とおけば， $x = A (s - 2)$ から $s = x / A + 2$ であり， $y = A (2 \frac{x}{A} + 4 - 1) = 2 x + 3 A .$ したがって $l_{2 k} : y = 2 x + 3 (- 3)^{k - 1}$ である。

円 $C_{k}$ の中心は， $l_{2 k - 1}$ と $y$ 軸の交点なので $O_{k} = (0, (- 3)^{k - 1})$ である。 $l_{2 k}$ を $2 x - y + 3 (- 3)^{k - 1} = 0$ と書く。点 $O_{k}$ からこの直線までの距離が半径 $r_{k}$ であるから

r_{k} = \frac{∣2 \cdot 0 - ( - 3 ) ^{k - 1} + 3 ( - 3 ) ^{k - 1} ∣}{2 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}} = \frac{2 \cdot 3 ^{k - 1}}{5} .

よって $r_{k}^{2} = \frac{4 \cdot 9 ^{k - 1}}{5}$ である。したがって円 $C_{k}$ の方程式は $x^{2} + {y - (- 3)^{k - 1}}^{2} = \frac{4 \cdot 9 ^{k - 1}}{5}$ である。

名古屋大学 2006年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 2006年度
理系数学第2問