問題
平面上に曲線を考える．
(1) 曲線の接線で点を通るものの方程式を求めよ．
(2) 平面上に2組の点列，を次のように定める．をとする．が定まったとき，を通り軸に平行な直線と軸との交点をとし，を通る曲線の接線の接点をとする．このとき，2つの線分とおよび曲線とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(3) 無限級数の和を求めよ．ここで，のときであることを用いてよい．
出典：名古屋大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第1問
方針
接線を接点 で表し，指定点 を通る条件から を決める。(2)では の高さが なので，(1)の結果をそのまま使って を得る。面積 は，水平線，接線，曲線 に囲まれる部分を と に分けて積分する。最後は等比級数を微分して得られる和 を用いる。
解答
(1) 曲線 上の接点を とする。 だから，この点における接線は である。この直線が点 を通るためには であればよい。したがって であり，接線の方程式は である。
(2) であるから，(1)で とすれば，次の接点の 座標は となる。 より である。また を通る接線は である。
(3) ， である。求める領域は， では接線と水平線 の間， では接線と曲線 の間である。よって
第1項は である。第2項は であり，上端では ，下端では である。したがって
よって ここで に対して であるから， として
したがって である。