名古屋大学 2006年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

コインを投げた結果に基づき $x y$ 平面上の点 $Q (x, y)$ を動かすものとする．最初，点 $Q$ は原点にあり，コインを投げて表がでれば $x$ 座標を1増加させ，裏が出れば $y$ 座標を1増加させる．点 $Q$ が直線 $x = a$ あるいは直線 $y = a$ のいずれかの上に達するまでこの試行を繰り返す．つぎの各問に答えよ．ただし， $a$ は正の整数であり，コインの表と裏の出る確率は等しいものとする．

(1) コインを投げる回数 $N$ の最小値 $K$ と最大値 $L$ を $a$ を用いて表せ．

(2) $a = 3$ のとき，コインを投げる回数 $N$ が4である確率を求めよ．

(3) 任意の $a$ に対して，コインを投げる回数 $N$ が $n$ $(K ≦ n ≦ L)$ である確率を求めよ．

(4) (3)で求めた確率を $p_{n}$ とする． $\frac{p _{n + 1}}{p _{n}}$ を求めよ．ただし， $K ≦ n ≦ L - 1$ とする．

(5) (4)の結果を利用し，コインを投げる回数 $N$ の期待値を $a$ を用いて表せ．

出典：名古屋大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

停止するのは，表の回数または裏の回数が初めて $a$ に達した瞬間である。最小回数は同じ面が続く場合，最大回数は両方が $a - 1$ 回ずつに近づいてから最後に一方が $a$ に達する場合で決まる。 $N = n$ では最後の1回で一方が $a$ 回目になり，その直前にはその面が $a - 1$ 回，他方が $n - a$ 回出ている。期待値では $n_{n - 1} C_{a - 1} = a_{n} C_{a}$ を使い，残る和を「 $a + 1$ 回目の表がいつ出るか」の数え上げで評価する。

解答

(1)

表または裏のどちらかが $a$ 回出た時点で止まる。同じ面が $a$ 回続けば $a$ 回で止まるので $K = a$ である。一方， $2 a - 2$ 回までは表が $a - 1$ 回，裏が $a - 1$ 回という状態がありうる。しかし $2 a - 1$ 回投げると，表と裏の回数の和が $2 a - 1$ なので，少なくとも一方は $a$ 回以上になる。したがって $L = 2 a - 1$ である。

(2)

$a = 3$ で $N = 4$ となるには，4回目で表または裏が3回目になればよい。最後が表の場合，初めの3回のうち表が2回，裏が1回であり，その並び方は $_{3} C_{2} = 3$ 通りである。最後が裏の場合も同じく3通りである。全事象は $2^{4}$ 通りだから $\frac{6}{2 ^{4}} = \frac{3}{8}$ である。

(3)

$a ≦ n ≦ 2 a - 1$ とする。 $N = n$ となるには，最後の1回で一方の座標が $a$ に達し，他方の座標は $n - a$ で止まっている必要がある。最後が表の場合，初めの $n - 1$ 回のうち表が $a - 1$ 回，裏が $n - a$ 回であればよい。この並び方は $_{n - 1} C_{a - 1}$ 通りである。最後が裏の場合も同数で，両者は重ならない。したがって $p_{n} = P (N = n) = \frac{2 _{n - 1} C _{a - 1}}{2 ^{n}}$ である。

(4)

(3)の式から

\frac{p _{n + 1}}{p _{n}} = \frac{\frac{2 _{n} C _{a - 1}}{2 ^{n + 1}}}{\frac{2 _{n - 1} C _{a - 1}}{2 ^{n}}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{_{n} C _{a - 1}}{_{n - 1} C _{a - 1}} .

ここで

\frac{_{n} C _{a - 1}}{_{n - 1} C _{a - 1}} = \frac{n}{n - a + 1}

なので $\frac{p _{n + 1}}{p _{n}} = \frac{n}{2 ( n - a + 1 )}$ である。

(5)

期待値は

E (N) = n = a \sum 2 a - 1 n p_{n} = n = a \sum 2 a - 1 n \frac{2 _{n - 1} C _{a - 1}}{2 ^{n}}

である。ここで $n_{n - 1} C_{a - 1} = a_{n} C_{a}$ を用いると $E (N) = 2 a \sum_{n = a}^{2 a - 1} \frac{_{n} C _{a}}{2 ^{n}}$ となる。

この和を評価する。 $2 a$ 回のコイン投げを考え， $(a + 1)$ 回目の表がちょうど $n + 1$ 回目に出る事象を考える。これは，初めの $n$ 回に表がちょうど $a$ 回あり， $(n + 1)$ 回目が表であることと同じなので，その確率は $\frac{_{n} C _{a}}{2 ^{n + 1}}$ である。 $n = a, a + 1, \dots, 2 a - 1$ について足すと， $2 a$ 回のうち表が少なくとも $a + 1$ 回出る確率になる。対称性より

P (表が少なくとも a + 1 回) = \frac{1}{2} (1 - \frac{_{2 a} C _{a}}{2 ^{2 a}})

である。したがって

n = a \sum 2 a - 1 \frac{_{n} C _{a}}{2 ^{n + 1}} = \frac{1}{2} (1 - \frac{_{2 a} C _{a}}{2 ^{2 a}})

であり，両辺を2倍して

n = a \sum 2 a - 1 \frac{_{n} C _{a}}{2 ^{n}} = 1 - \frac{_{2 a} C _{a}}{2 ^{2 a}}

を得る。よって $E (N) = 2 a (1 - \frac{_{2 a} C _{a}}{2 ^{2 a}})$ である。

別解。期待値は $E (N) = \sum_{m = 0}^{2 a - 2} P (N > m)$ としても求められる。 $m < a$ では必ず $N > m$ であり， $a ≦ m ≦ 2 a - 2$ では， $m$ 回後の表の回数を $h$ とすると，まだ止まっていない条件は $m - a + 1 ≦ h ≦ a - 1$ である。したがって

E (N) = a + m = a \sum 2 a - 2 h = m - a + 1 \sum a - 1 \frac{_{m} C _{h}}{2 ^{m}}

とも表せる。この二重和をパスカルの関係で外側から畳むと上と同じ $2 a (1 -_{2 a} C_{a} / 2^{2 a})$ に戻り，停止前の状態を数える見方でも同じ結果が得られる。

名古屋大学 2006年度後期・理系数学 後期第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

名古屋大学 2006年度
後期・理系数学後期第4問