名古屋大学 2006年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

媒介変数 $θ_{1}$ および $θ_{2}$ で表される2つの曲線

C_{1} : {x = cos θ_{1} y = sin θ_{1} (0 < θ_{1} < \frac{π}{2})

C_{2} : {x = cos θ_{2} y = 3 sin θ_{2} (- \frac{π}{2} < θ_{2} < 0)

がある．
$C_{1}$ 上の点 $P_{1}$ と $C_{2}$ 上の点 $P_{2}$ が，

θ_{1} = θ_{2} + \frac{π}{2}

の関係を保って移動する．
曲線 $C_{1}$ の点 $P_{1}$ における接線と，曲線 $C_{2}$ の点 $P_{2}$ における接線の交点を $P$ とし，これら2つの接線のなす角 $∠ P_{1} P P_{2}$ を $α$ とする．つぎの各問に答えよ．

(1) 直線 $P_{1} P$ と $x$ 軸とのなす角を $β$ $(0 < β < \frac{π}{2})$ ，直線 $P_{2} P$ と $x$ 軸とのなす角を $γ$ $(0 < γ < \frac{π}{2})$ とする． $tan β$ および $tan γ$ を $θ_{1}$ で表せ．

(2) $tan α$ を $θ_{1}$ で表せ．

(3) $tan α$ の最大値と，最大値を与える $θ_{1}$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

媒介変数を $θ_{1} = θ$ とおき， $θ_{2} = θ - π /2$ に直す。接線の傾きは $d y / d x$ で求められるので， $C_{1}$ では負の傾き， $C_{2}$ では正の傾きになる。2直線のなす角は傾きの公式で処理し，この問題の $α$ は鈍角になるため $tan α$ が負になる点を明記する。最後は $u = tan θ > 0$ とおき， $1/ u + 3 u$ の最小値から $tan α$ の最大値を出す。

解答

(1)

$θ_{1} = θ$ とおく。 $0 < θ < π /2$ である。 $C_{1}$ では $\frac{d y}{d x} = \frac{c o s θ}{- s i n θ} = - \frac{1}{t a n θ}$ である。直線 $P_{1} P$ は負の傾きをもつので， $x$ 軸とのなす鋭角 $β$ について $tan β = \frac{1}{tan θ _{1}}$ である。

また $θ_{2} = θ - \frac{π}{2}$ である。 $C_{2}$ では $\frac{d y}{d x} = \frac{3 c o s θ _{2}}{- s i n θ _{2}} .$ ここで $cos θ_{2} = sin θ$ ， $sin θ_{2} = - cos θ$ だから $\frac{d y}{d x} = 3 tan θ .$ したがって $tan γ = 3 tan θ_{1}$ である。

(2)

2つの接線の傾きを $m_{1} = - \frac{1}{t a n θ}, m_{2} = 3 tan θ$ とする。 $m_{1} m_{2} = - 3$ であり，2本の直線の交わり方から $∠ P_{1} P P_{2} = α$ は鈍角である。傾き $m_{1}, m_{2}$ の2直線のなす角の公式より

tan α = \frac{m _{2} - m _{1}}{1 + m _{1} m _{2}} = \frac{3 tan θ + \frac{1}{t a n θ}}{1 - 3} .

よって $tan α = - \frac{1 + 3 tan ^{2} θ _{1}}{2 tan θ _{1}}$ である。

(3)

$u = tan θ_{1}$ とおくと $u > 0$ であり， $tan α = - \frac{1}{2} (\frac{1}{u} + 3 u)$ である。相加相乗平均より $\frac{1}{u} + 3 u ≧ 23$ であり，等号は $1/ u = 3 u$ ，すなわち $u = 1/ 3$ のとき成り立つ。したがって負号が付いていることに注意すると， $tan α$ はこのとき最大になり， $max tan α = - 3$ である。また $tan θ_{1} = 1/ 3$ ， $0 < θ_{1} < π /2$ より $θ_{1} = \frac{π}{6}$ である。

名古屋大学 2006年度後期・理系数学 後期第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2006年度
後期・理系数学後期第2問