問題
， 2つの町がある．毎年1月1日に，町の前年の住民のうち4割が町に，町の前年の住民のうち2割が町に，それぞれ引っ越す（住民の数は十分に多く，引っ越す住民の割合は正確に4割，2割と見なしてよい）．それ以外には住民の移動はなく，町，町両方をあわせた住民の数は不変である．次の各問に答えよ．
(1) ある年の末に町と町それぞれに住んでいる住民の数を，とする．1年後に町と町それぞれに住んでいる住民の数，を表す式を
とおくとき，の行列を具体的に示せ．
(2) 以下の式を満足する実数，の値を求めよ．ただしはの単位行列である．
(3) (2)で与えられた式は，とを入れ換えても成り立つ．このことと(2)の結果を用いてを求めよ．ただしは正の整数とする．
(4) 年後に町と町それぞれに住んでいる住民の数をととで表す．このとき，つぎの極限を求めよ．
方針
まず1年後の移動を行列で表し，その行列が満たす二次式を直接計算する。 が分かれば， と を使って を2つの部分に分け，片方は をかけても変わらず，もう片方は毎回 倍される形にできる。最後の極限では を用いる。全人口が一定であることを使う直接解もあり，極限の意味を確認する補助になる。
解答
(1)
1年後， 町に残るのは 町の前年住民の6割であり， 町からは2割が移ってくる。したがって である。よって
である。
(2)
直接計算すると
である。一方
だから である。これは すなわち と書ける。したがって である。
(3)
(2)より であり，問題文の通り と を入れ換えた式も成り立つので である。ここで とおくと， であり，さらに である。したがって となる。すなわち
である。成分を整理すると
である。
(4)
の式より
である。 のとき だから，両町の合計人口 を用いて となる。したがって である。
別解。極限だけなら，合計人口 が一定であることを使ってもよい。 とおくと である。両辺から を引くと となるので，， が直接分かる。これも上の極限 と一致する。