名古屋大学 2006年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

空間内の点 $O$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ の座標をそれぞれ $(0, 0, 0)$ ， $(1, 0, 0)$ ， $(0, 1, 0)$ ， $(0, 0, 1)$ とする．点 $P$ は $x$ 軸上を点 $O$ から点 $A$ へ向かって，点 $Q$ は $y$ 軸上を点 $B$ から点 $O$ へ向かって，それぞれ時刻 $t = 0$ に出発して速さ1で移動する．時刻 $t$ $(0 ≦ t ≦ 1)$ において三角形 $C P Q$ を $z$ 軸のまわりに回転させてできる立体を考える．つぎの各問に答えよ．

(1) 時刻 $t$ において， $x y$ 平面上の線分 $P Q$ を原点を中心にして $x y$ 平面上で1回転させたときに線分が通過する部分の面積を求めよ．

(2) 時刻 $t$ において，立体を平面 $z = u$ $(0 ≦ u ≦ 1)$ で切ったときの断面積 $S (u)$ を求め，立体の体積 $V (t)$ を求めよ．

(3) $V (t)$ の最小値と，最小値を与える $t$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2006年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

時刻 $t$ では $P = (t, 0, 0)$ ， $Q = (0, 1 - t, 0)$ である。線分 $P Q$ を $x y$ 平面で回すと，原点から線分までの距離を内半径，端点のうち遠い方までの距離を外半径とする円環になる。断面 $z = u$ では三角形 $C P Q$ が頂点 $C$ から相似比 $1 - u$ で縮むので，断面積は(1)の面積に $(1 - u)^{2}$ を掛ければよい。最後は対称性と微分で最小を確認する。

解答

(1)

時刻 $t$ において $P = (t, 0, 0), Q = (0, 1 - t, 0)$ である。 $x y$ 平面上の直線 $P Q$ は $\frac{x}{t} + \frac{y}{1 - t} = 1$ と書けるので，原点からこの直線までの距離は

d = \frac{1}{\frac{1}{t ^{2}} + \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}}} = \frac{t ( 1 - t )}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}}

である。線分 $P Q$ を原点のまわりに1回転させると，内半径 $d$ ，外半径 $max {t, 1 - t}$ の円環ができる。 $0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}$ のとき外半径は $1 - t$ であるから，面積は

π {(1 - t)^{2} - \frac{t ^{2} ( 1 - t ) ^{2}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}}} = π \frac{( 1 - t ) ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} .

$\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ のとき外半径は $t$ であるから，面積は

π {t^{2} - \frac{t ^{2} ( 1 - t ) ^{2}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}}} = π \frac{t ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} .

したがって求める面積は

⎩ ⎨ ⎧ π \frac{( 1 - t ) ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} π \frac{t ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} (0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1) .

(2)

平面 $z = u$ による断面を考える。三角形 $C P Q$ のうち高さ $z = u$ にある線分は， $x y$ 平面上の線分 $P Q$ を相似比 $1 - u$ で縮小したものである。回転後の面積は長さの2乗に比例するので，(1)の面積を $(1 - u)^{2}$ 倍すればよい。よって

S (u) = ⎩ ⎨ ⎧ π (1 - u)^{2} \frac{( 1 - t ) ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} π (1 - u)^{2} \frac{t ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} (0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1) .

体積はこれを $0 ≦ u ≦ 1$ で積分して $V (t) = \int_{0}^{1} S (u) d u$ である。 $\int_{0}^{1} (1 - u)^{2} d u = 1/3$ だから

V (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π}{3} \frac{( 1 - t ) ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} \frac{π}{3} \frac{t ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} (0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1) .

(3)

$V (t)$ は $t$ と $1 - t$ を入れ換えても同じなので， $t = 1/2$ に関して対称である。したがって $0 ≦ t ≦ 1/2$ で単調減少を確認すればよい。 $f (t) = \frac{( 1 - t ) ^{4}}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}}$ とおく。対数微分で符号だけを見ると

\frac{f ^{'} ( t )}{f ( t )} = - \frac{4}{1 - t} - \frac{4 t - 2}{t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2}} = \frac{- 2 ( 2 t ^{2} - t + 1 )}{( 1 - t ) { t ^{2} + ( 1 - t ) ^{2} }} < 0

である。よって $f (t)$ は $0 ≦ t ≦ 1/2$ で減少する。対称性より， $V (t)$ は $t = 1/2$ で最小になる。

このとき

V (\frac{1}{2}) = \frac{π}{3} \cdot \frac{( 1/2 ) ^{4}}{( 1/2 ) ^{2} + ( 1/2 ) ^{2}} = \frac{π}{3} \cdot \frac{1/16}{1/2} = \frac{π}{24} .

したがって $t = \frac{1}{2}, V_{m i n} = \frac{π}{24}$ である。

名古屋大学 2006年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

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後期・理系数学後期第3問