問題
，，は，半径がそれぞれ，，の円とする．いま，半径1の円にこれらが内接していて，，，は互いに外接しているとき，の値を求めよ．
出典：名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第4問(a)
方針
3つの小円は左右対称に置ける。半径 の円の中心を対称軸上に置き、半径1の大円に内接する条件からその中心を とする。半径 の2円は互いに外接するので、中心を , と置ける。あとは半径 の円との外接条件と、大円への内接条件を中心間距離で表し、 を解く。
解答
半径1の円 の中心を原点 とする。半径 の円 の中心を対称軸上に取り、上側で に内接しているとして とおく。残りの2つの半径 の円 は左右対称に置ける。また互いに外接しているので、中心間距離が である。よってその中心を とおける。 と は外接しているので、中心間距離は である。したがって である。 は より下側にあるから、 である。
また は半径1の円 に内接しているので、原点から の中心までの距離は である。よって である。ここに を代入すると である。整理して を得る。 だから であり、分母を整理すると である。
別解。中心を結んだ三角形で考えてもよい。半径 の小円の中心間距離は、それぞれ であるから、3中心は二等辺三角形を作る。高さは である。これを大円の中心からの距離条件 , に入れると、上と同じ方程式になる。