問題
，，を実数とし，実数の組に関する方程式
を考える．
(1) 方程式(i)が解を持つための，，に対する条件を求めよ．またそのときの方程式(i)の解を求めよ．
(2) 方程式(i)と(ii)がただ一つの共通解をもつとき，その共通解は方程式をみたすことを示せ．
出典：名古屋大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 理系 第2問
方針
3本の一次方程式は独立ではないので、係数の一次関係を見つけて右辺にも同じ関係が成り立つ条件を求める。その条件のもとで と置けば、解全体は方向ベクトル をもつ直線として表せる。(2)では、この直線が単位球面とただ1点で交わるという条件を、直線が球面に接する条件として読む。接点では中心から接点への半径ベクトルが直線の方向ベクトルに垂直なので、 が得られ、これを球面の式に代入する。
解答
(1)
3本の一次方程式の係数を比べると、 が成り立つ。したがって、左辺にこの関係がある以上、解をもつためには右辺にも同じ関係が必要である。すなわち でなければならない。よって条件は である。
この条件が成り立つとする。 と置いて最初の2式 を解くと、 を得る。条件 のもとでは、これらは第3式も満たす。したがって解全体は である。
(2)
(1)より、方程式(i)の解全体は と表される直線である。この直線が球面 とただ一つの共通解をもつなら、直線は球面に接している。球面の中心は原点であるから、接点 では、半径ベクトル が直線の方向ベクトル に垂直である。
したがって である。これより であるから、球面の式に代入して を得る。整理すると である。よって共通解はこの方程式を満たす。