名古屋大学 2004年度理系数学第3問解答・解説

問題

多項式の列 $f_{n} (x)$ ， $n = 0, 1, 2, \dots$ が， $f_{0} (x) = 2$ ， $f_{1} (x) = x$ ， $f_{n} (x) = x f_{n - 1} (x) - f_{n - 2} (x)$ ， $n = 2, 3, 4, \dots$ をみたすとする．

(1) $f_{n} (2 cos θ) = 2 cos n θ$ ， $n = 0, 1, 2, \dots$ であることを示せ．

(2) $n ≧ 2$ のとき，方程式 $f_{n} (x) = 0$ の $∣ x ∣ ≦ 2$ における最大の実数解を $x_{n}$ とおく．このとき， $\int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x$ の値を求めよ．

(3) $n \to \infty lim n^{2} \int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 2004年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

漸化式 $f_{n} = x f_{n - 1} - f_{n - 2}$ は余弦の加法公式 $2 cos n θ = 2 (2 cos θ) cos (n - 1) θ - 2 cos (n - 2) θ$ に対応している。(1)は帰納法で示す。(2)では $∣ x ∣ ≦ 2$ で $x = 2 cos θ$ と置くと、最大の根は最小の正の $θ$ 、すなわち $n θ = π /2$ から得られる。積分は $d x = - 2 sin θ d θ$ に注意して $0 ≦ θ ≦ π / (2 n)$ の積分に直し、積和公式で評価する。(3)は $n sin (π / (2 n)) \to π /2$ を用いる。

解答

(1)

$n = 0$ のとき $f_{0} (2 cos θ) = 2 = 2 cos 0 θ$ であり、 $n = 1$ のとき $f_{1} (2 cos θ) = 2 cos θ$ である。よって主張は $n = 0, 1$ で成り立つ。 $n - 1, n - 2$ で成り立つと仮定する。漸化式より

f_{n} (2 cos θ) = 2 cos θ f_{n - 1} (2 cos θ) - f_{n - 2} (2 cos θ) = 2 cos θ \cdot 2 cos (n - 1) θ - 2 cos (n - 2) θ .

ここで余弦の加法公式から $2 cos θ cos (n - 1) θ = cos n θ + cos (n - 2) θ$ である。したがって $f_{n} (2 cos θ) = 2 cos n θ$ である。よって帰納法により、すべての $n ≧ 0$ で成り立つ。

(2)

$∣ x ∣ ≦ 2$ で $x = 2 cos θ (0 ≦ θ ≦ π)$ とおく。(1)より $f_{n} (x) = 0$ は $2 cos n θ = 0$ と同値である。最大の $x$ は最小の正の $θ$ に対応するので、 $n θ = \frac{π}{2}$ から $x_{n} = 2 cos \frac{π}{2 n}$ である。

積分を計算する。 $x = 2 cos θ$ とすると $d x = - 2 sin θ d θ$ であり、 $x = x_{n}$ は $θ = π / (2 n)$ 、 $x = 2$ は $θ = 0$ に対応する。したがって

\int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x = \int_{π / (2 n)}^{0} 2 cos n θ \cdot (- 2 sin θ) d θ = 4 \int_{0}^{π / (2 n)} cos n θ sin θ d θ .

積和公式 $sin θ cos n θ = \frac{1}{2} {sin (n + 1) θ - sin (n - 1) θ}$ を用いると、 $α = π / (2 n)$ として

\int_{0}^{α} cos n θ sin θ d θ = \frac{1}{2} [\frac{1 - cos ( n + 1 ) α}{n + 1} - \frac{1 - cos ( n - 1 ) α}{n - 1}] .

ここで

cos (n + 1) α = cos (\frac{π}{2} + \frac{π}{2 n}) = - sin \frac{π}{2 n}

であり、

cos (n - 1) α = cos (\frac{π}{2} - \frac{π}{2 n}) = sin \frac{π}{2 n}

である。よって

\int_{0}^{α} cos n θ sin θ d θ = \frac{n sin \frac{π}{2 n} - 1}{n ^{2} - 1}

である。したがって

\int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x = \frac{4 ( n sin \frac{π}{2 n} - 1 )}{n ^{2} - 1}

である。

(3)

(2)の結果から

n^{2} \int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x = \frac{4 n ^{2}}{n ^{2} - 1} (n sin \frac{π}{2 n} - 1)

である。ここで $lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2}}{n ^{2} - 1} = 1$ であり、また $lim_{n \to \infty} n sin \frac{π}{2 n} = \frac{π}{2}$ である。したがって

n \to \infty lim n^{2} \int_{x_{n}}^{2} f_{n} (x) d x = 4 (\frac{π}{2} - 1) = 2 π - 4

である。

名古屋大学 2004年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2004年度
理系数学第3問