問題
サイコロの出た目の数だけ数直線を正の方向に移動するゲームを考える．ただし，8をゴールとしてちょうど8の位置へ移動したときにゲームを終了し，8をこえた分についてはその数だけ戻る．たとえば，7の位置で3が出た場合，8から2戻って6へ移動する．なお，サイコロは1から6までの目が等確率で出るものとする．原点から始めて，サイコロを回投げ終えたときに8へ移動してゲームを終了する確率をとおく．
(1) を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) 4以上のすべてのに対してを求めよ．
方針
2回目までは直接数える。2回投げ終えて終了していない場合、位置は2から7のいずれかになり、どの位置からも次に8へ到達する出目はちょうど1通りである。したがって3回目以降は、未終了なら次回終了確率が常に で、未終了のまま残る確率が になる。 を求めた後は、この一定比 で を一般化する。
解答
(1)
1回目では8に到達できない。2回で8に到達するには、2つの出目の和が8になればよい。可能な組は の5通りである。よって である。
(2)
2回投げ終えてまだ終了していないとき、位置は2から7のいずれかである。この各位置 から次にちょうど8へ到達する出目は の1通りである。したがって、3回目に終了する確率は、2回目までに終了していない確率の である。
よって
である。
(3)
2回目以後、終了していないときの位置は常に2から7のいずれかである。実際、2から7の位置でサイコロを投げ、8に到達しなかった場合、反射後も位置は2から7の範囲に残る。
したがって、3回目以後は、終了していない状態から次の1回で終了する確率が常に であり、終了しない確率が である。ゆえに が成り立つ。すでに であるから、 について
である。
別解。2回目終了後の未終了確率は である。 のとき、 回目に初めて終了するには、3回目から 回目までは毎回終了せず、 回目に終了すればよい。したがって となり、同じ式を得る。