問題
点は軸上を，時刻からまでは
で運動し，時刻からは
で減速して時刻で速度が0になって停止する．つぎの各問に答えよ．
(1) かつのとき，点が時刻からまでの間に動いた道のりが88になるためのの値（減速を開始する時刻）とそのときの速度の値を求めよ．
(2) とがを満たすものとする．であるとき，点が時刻からまでの間に動いた道のりが最小になるような，の値と，そのときの道のりを求めよ．
出典：名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第3問
方針
前半は速度 を積分して道のりを求める。後半は速度 から一定の負の加速度で0まで減速するので、速度-時刻グラフの三角形面積、または で道のりを表せる。(1)は を代入して を解く。(2)は から 、また から後半の道のりを だけで表し、 を最小化する。
解答
(1)
では速度が であるから、この間の道のりは である。また減速開始時の速度は である。
その後は加速度 で速度0まで減速する。初速度を とすると、減速中の道のりは である。ここに を代入すると である。
全道のりが88なので である。 とおくと すなわち である。 はこれを満たし、左辺は で増加するので正の解はこれだけである。したがって であり、 である。
(2)
より である。したがって である。
前半の道のりは である。上の を代入すると である。
後半の減速中の道のりは、初速度24、加速度 で停止するので である。条件 より だから、これは である。よって全道のりは である。
微分すると である。 より である。 はこの点の前で負、後で正に変わるので、ここで最小となる。したがって であり、 である。
このとき だから である。よって最小の道のりは である。