問題
座標空間において，点を中心とする半径1の球面
を考える．点と上の点（ただし，）を通る直線が平面と交わる点をとする．つぎの各問に答えよ．
(1) とをそれぞれ，，を用いて表せ．
(2) 点が上のの部分を動くとき，点は平面全体を動くことを証明せよ．
(3) 点が上の
の部分を動くとき，点が描く図形の方程式を求めよ．
出典：名古屋大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験 後期・理系 後期第1問
方針
直線 を媒介変数で表し、 となる値を代入して の座標を求める。(2)は、任意の から中心 へ向かう直線を考え、その直線が球面の下半分と交わる点を具体的に作ればよい。(3)は(2)で得た逆向きの表示を使い、条件 を の式に直して軌跡を求める。 なので、得られる双曲線のうち の枝だけであることも確認する。
解答
(1)
点 と点 を通る直線は と表される。 はこの直線と 平面の交点なので、 とおく。すると より である。したがって である。
(2)
任意の点 を取る。点 から へ向かうベクトルは であり、その長さは である。そこで と定める。
このとき なので は球面 上にある。また の 座標は であり、これは1より小さい。さらに、 は同一直線上にあるので、(1)の対応でこの から得られる点はもとの である。
したがって、 が 上の の部分を動くとき、 は 平面全体を動く。
(3)
(2)の表示を用いると、 の 座標は である。これが に等しいので、 である。 で分母は正だから、特に である。両辺を2乗して を得る。整理すると である。
したがって、点 が描く図形は で表される双曲線の右側の枝である。