問題
（，，は実数の定数）とし，方程式の3つの解を，，とする．以下の2つの条件が成り立つものとする．
(i) 曲線上の点における接線の方程式はであり，また，曲線とこの接線とはの範囲で交わる．
(ii) 複素数平面上の3点，，を頂点とするは正三角形である．
このとき，つぎの各問に答えよ．
(1) ，，の値を求めよ．
(2) 複素数平面上で，と，
を満たす点の全体が表す図形とが共有点を持つようなの範囲を求めよ．
方針
接線条件から、 は を重解にもつので と置く。さらに で接線ともう一度交わる条件から である。3つの根が複素数平面で正三角形を作る条件は、重心を原点に移したとき3根が 型になることから、平行移動後の三次式の一次の係数が0になること、すなわち と表せる。(2)は三角形上で の範囲を求める。
解答
(1)
接線が であるから、 で かつ である。したがって は を重解にもつ。よって とおける。さらに、曲線と接線が の範囲で交わるので、もう1つの交点は であり、 である。
右辺を展開すると である。したがって であり、 である。
次に、3つの根が正三角形を作る条件を用いる。一般に、モニック三次式 の根の重心は である。 と平行移動して重心を原点に移すと、 の項は消え、 の係数は となる。3つの根が正三角形を作るとき、重心を原点に移した3つの根は の形に書けるので、平行移動後の三次式には の項がない。したがって である。
ここに , を代入すると である。両辺を整理して を得る。 だから である。よって である。
(2)
(1)より である。したがって3つの根は である。よって三角形 の頂点は である。 とおくと、 は すなわち である。三角形 上では なので、共有点をもつための は が三角形上の点で取り得る値である。
三角形の内部および周上の点は を満たす。したがって である。一方、 より である。右辺について は と同値であり、 で成り立つ。よって である。
実際、 は点 で、 は頂点 などで達成される。したがって求める範囲は である。