名古屋大学 2003年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

円周上に $n$ 個の異なる点 $a_{1}, a_{2}, \dots\dots, a_{n}$ をとり，これら $n$ 個の点を要素とする集合を $U$ とする（ただし， $n ≦ 4$ ）． $U$ 内のすべての異なる2点間に線分を引くものとする．各線分を各々独立に，赤，青，黄のいずれかに等確率で着色する．つぎの(1)～(6)の各問に答えよ．

(1) 上記の線分の数を求めよ．

(2) すべての線分が同一色で着色されている確率を求めよ．

いま事象 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ を

$A_{1}$ ： ${a_{1}, a_{2}, a_{3}}$ 内の任意の2点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

$A_{2}$ ： ${a_{2}, a_{3}, a_{4}}$ 内の任意の2点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

$A_{3}$ ： ${a_{3}, a_{4}, a_{1}}$ 内の任意の2点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

$A_{4}$ ： ${a_{4}, a_{1}, a_{2}}$ 内の任意の2点を結ぶ線分のすべてが，同一色で着色されている

とする．
また事象 $B$ を

$B$ ： ${a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}}$ 内のどの3個の点を選んでも，それらを結んでいる線分の色は2色以上である

とする．

(3) 事象 $A_{1}$ の起こる確率 $P (A_{1})$ を求めよ．

(4) $A_{1}$ ， $A_{2}$ の余事象 $\overline{A_{1}}$ ， $\overline{A_{2}}$ について，確率 $P (\overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}})$ を求めよ．

(5) 事象 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ， $A_{3}$ ， $A_{4}$ および記号￣， $\cap$ ， $\cup$ を使って，事象 $B$ を表現せよ．

(6) 「和事象の確率は，常に個々の事象の確率の和以下である」ことを用いて， $P (B) ≧ \frac{5}{9}$ であることを示せ．

出典：名古屋大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)(2)は完全グラフの辺数と、全辺同色の数え上げである。(3)以降は4点の場合で、各 $A_{i}$ は対応する3点が作る三角形の3辺が同じ色である事象を表す。(4)では $A_{1}$ と $A_{2}$ が共有する辺の色により、関係する5本の辺が同色にそろうことを使う。(5)は $B$ が「どの三角形も単色でない」ことの言い換えであり、(6)はその余事象を和事象として上から評価する。

解答

(1)

$n$ 個の点のうち異なる2点を選ぶごとに1本の線分が引かれる。したがって線分の数は $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ である。

(2)

線分の本数を $N = \frac{n ( n - 1 )}{2}$ とする。すべての線分の色の塗り方は $3^{N}$ 通りである。すべての線分が同一色である塗り方は、赤・青・黄の3通りである。よって求める確率は $\frac{3}{3 ^{N}} = 3^{1 - N}$ である。

(3)

事象 $A_{1}$ は、3点 $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ を結ぶ3本の線分が同一色である事象である。この3本の塗り方は全部で $3^{3}$ 通りで、同一色となる塗り方は3通りである。したがって $P (A_{1}) = \frac{3}{3 ^{3}} = \frac{1}{9}$ である。

(4)

まず $P (\overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}}) = 1 - P (A_{1} \cup A_{2})$ である。ここで $P (A_{1}) = P (A_{2}) = \frac{1}{9}$ である。

次に $A_{1} \cap A_{2}$ を考える。 $A_{1}$ では辺 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{3}, a_{2} a_{3}$ が同一色であり、 $A_{2}$ では辺 $a_{2} a_{3}, a_{2} a_{4}, a_{3} a_{4}$ が同一色である。両方に共通する辺 $a_{2} a_{3}$ があるため、この5本の辺 $a_{1} a_{2}, a_{1} a_{3}, a_{2} a_{3}, a_{2} a_{4}, a_{3} a_{4}$ はすべて同一色でなければならない。残りの辺 $a_{1} a_{4}$ の色は自由である。したがって $P (A_{1} \cap A_{2}) = \frac{3 \cdot 3}{3 ^{6}} = \frac{1}{81}$ である。

よって $P (A_{1} \cup A_{2}) = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} - \frac{1}{81} = \frac{17}{81}$ であり、

P (\overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}}) = 1 - \frac{17}{81} = \frac{64}{81}

である。

(5)

事象 $B$ は、4点からどの3点を選んでも、その3点を結ぶ3本の線分が同一色ではない、という事象である。これは $A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}$ のどれも起こらないことを意味する。したがって

B = \overline{A_{1}} \cap \overline{A_{2}} \cap \overline{A_{3}} \cap \overline{A_{4}}

である。

(6)

(5)より $B = \overline{A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}}$ である。したがって $P (B) = 1 - P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4})$ である。

和事象の確率は個々の事象の確率の和以下であるから $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}) ≦ P (A_{1}) + P (A_{2}) + P (A_{3}) + P (A_{4})$ である。各 $A_{i}$ の確率は $1/9$ なので $P (A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3} \cup A_{4}) ≦ 4 \cdot \frac{1}{9} = \frac{4}{9}$ である。よって $P (B) ≧ 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}$ である。

名古屋大学 2003年度後期・理系数学 後期第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

名古屋大学 2003年度
後期・理系数学後期第4問