名古屋大学 2003年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

座標平面上に，原点 $O$ ，点 $A_{0} (l_{0}, 0)$ ， $O$ からの距離が $l_{0}$ である点 $B_{0}$ （この点の $y$ 座標は正の値とする）の3点からなる二等辺三角形 $O A_{0} B_{0}$ を考える．ここで， $∠ A_{0} O B_{0} = 2 θ$ とする．この二等辺三角形 $O A_{0} B_{0}$ に内接する円の中心を $I_{0}$ とし，半径を $r_{0}$ とする．この円に外接する台形 $A_{0} B_{0} A_{1} B_{1}^{'}$ を考え（点 $A_{1}$ は辺 $O B_{0}$ 上，点 $B_{1}^{'}$ は辺 $O A_{0}$ 上にあるものとする），辺 $O B_{0}$ に関して点 $B_{1}^{'}$ を対称移動した点を $B_{1}$ とおく．つぎに $△ O A_{1} B_{1}$ の内接円を描き，その中心を $I_{1}$ ，半径を $r_{1}$ とする．同様の作業を $n$ 回繰り返してできる $△ O A_{n} B_{n}$ およびその内接円（中心を $I_{n}$ ，半径を $r_{n}$ とする）を考える（下図参照）．ここで，辺 $O A_{n}$ の長さを $l_{n}$ とする．つぎの各問に答えよ．

(1) $r_{0}$ を $l_{0}$ および $θ$ を用いて表せ．

(2) $l_{n}$ を $l_{0}$ ， $θ$ および $n$ を用いて表せ．

(3) 点 $A_{n}$ の座標 $(x_{n}, y_{n})$ を $l_{0}$ ， $θ$ および $n$ を用いて表せ．

(4) $△ O A_{n} B_{n}$ の内接円の面積 $S_{n}$ を $l_{0}$ ， $θ$ および $n$ を用いて表せ．

(5) $n \to \infty lim i = 0 \sum n S_{i}$ を $l_{0}$ および $θ$ を用いて表せ．

出典：名古屋大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

各段階の三角形は、頂角が常に $2 θ$ の二等辺三角形で相似である。まず二等辺三角形の面積と半周長から内接円の半径を出す。内接円が辺に接する点までの距離は $r cot θ$ で、これが次の三角形の辺長 $l_{n + 1}$ になるため、 $l_{n + 1} = l_{n} (1 - sin θ)$ と分かる。あとは辺の向きが毎回 $2 θ$ ずつ回転すること、内接円面積が $l_{n}^{2}$ に比例することを使い、座標と面積和を等比数列で表す。

解答

(1)

$△ O A_{0} B_{0}$ は $O A_{0} = O B_{0} = l_{0}, ∠ A_{0} O B_{0} = 2 θ$ の二等辺三角形である。その面積は $\frac{1}{2} l_{0}^{2} sin 2 θ = l_{0}^{2} sin θ cos θ$ である。また底辺は $A_{0} B_{0} = 2 l_{0} sin θ$ なので、半周長は $\frac{l _{0} + l _{0} + 2 l _{0} s i n θ}{2} = l_{0} (1 + sin θ)$ である。

三角形の面積は「内接円の半径 $\times$ 半周長」に等しいから $r_{0} = \frac{l _{0}^{2} s i n θ c o s θ}{l _{0} ( 1 + s i n θ )}$ である。よって $r_{0} = \frac{l _{0} sin θ cos θ}{1 + sin θ}$ である。

(2)

一般に、辺の長さが $l_{n}$ 、頂角が $2 θ$ の二等辺三角形 $O A_{n} B_{n}$ を考える。その内接円の半径は(1)と同様に $r_{n} = \frac{l _{n} s i n θ c o s θ}{1 + s i n θ}$ である。

内心は角の二等分線上にあり、内接円が辺 $O A_{n}$ に接する点までの距離は $r_{n} cot θ$ である。したがって、次の三角形の辺長は

l_{n + 1} = r_{n} cot θ = \frac{l _{n} sin θ cos θ}{1 + sin θ} \cdot \frac{cos θ}{sin θ}

$= l_{n} \frac{c o s ^{2} θ}{1 + s i n θ} = l_{n} (1 - sin θ)$ である。よって $l_{n} = l_{0} (1 - sin θ)^{n}$ である。

(3)

点 $A_{0}$ は正の $x$ 軸上にある。構成により、 $O A_{n}$ の向きは $O A_{0}$ から $2 n θ$ だけ回転している。したがって $A_{n} = (x_{n}, y_{n})$ は、長さ $l_{n}$ 、偏角 $2 n θ$ の点である。よって(2)より

(x_{n}, y_{n}) = (l_{0} (1 - sin θ)^{n} cos 2 n θ, l_{0} (1 - sin θ)^{n} sin 2 n θ)

である。

(4)

(2)で述べた通り $r_{n} = \frac{l _{n} s i n θ c o s θ}{1 + s i n θ}$ である。 $l_{n} = l_{0} (1 - sin θ)^{n}$ を代入すると $r_{n} = \frac{l _{0} ( 1 - s i n θ ) ^{n} s i n θ c o s θ}{1 + s i n θ}$ である。したがって内接円の面積 $S_{n}$ は

S_{n} = π {\frac{l _{0} ( 1 - sin θ ) ^{n} sin θ cos θ}{1 + sin θ}}^{2}

である。

(5)

(4)より $S_{n}$ は公比 $(1 - sin θ)^{2}$ の等比数列である。 $0 < θ < π /2$ なので $0 < 1 - sin θ < 1$ であり、和は収束する。したがって $lim_{n \to \infty} \sum_{i = 0}^{n} S_{i} = \frac{S _{0}}{1 - ( 1 - s i n θ ) ^{2}}$ である。ここで $S_{0} = π {\frac{l _{0} s i n θ c o s θ}{1 + s i n θ}}^{2}$ だから

n \to \infty lim i = 0 \sum n S_{i} = \frac{π l _{0}^{2} sin ^{2} θ cos ^{2} θ}{( 1 + sin θ ) ^{2} { 1 - ( 1 - sin θ ) ^{2} }}

である。

名古屋大学 2003年度後期・理系数学 後期第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

名古屋大学 2003年度
後期・理系数学後期第1問