名古屋大学 2003年度
後期・理系数学 後期第2問

解答

(1)

与えられた式から $x=\frac{b}{a-\cos \theta }$ である。したがって $a-\cos \theta =\frac{b}{x}$ であり、$\cos \theta =a-\frac{b}{x}$ である。また $y=\frac{\sin \theta }{a-\cos \theta }=\frac{x}{b}\sin \theta$ だから $\sin \theta =\frac{by}{x}$ である。

これらを ${\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta =1$ に代入すると ${\left(a-\frac{b}{x}\right)}^2+{\left(\frac{by}{x}\right)}^2=1$ である。両辺に $x^2$ を掛けると $a^2{x}^2-2abx+b^2+b^2{y}^2=x^2$ である。$a^2-b^2=1$、すなわち $a^2-1=b^2$ を用いると $b^2{x}^2-2abx+b^2+b^2{y}^2=0$ となる。$b>0$ なので $b^2$ で割って $x^2+y^2-\frac{2a}{b}x+1=0$ である。平方完成して $\boxed{{\left(x-\frac{a}{b}\right)}^2+y^2=\frac{1}{b^2}}$ を得る。

また $0\leqq \theta \leqq \pi$ では $\sin \theta \geqq 0$ であり、$a-\cos \theta >0$ だから $y\geqq 0$ である。よって曲線 $C$ は、中心 $(a/b,0)$、半径 $1/b$ の円の上半分である。

(2)

(1)の円の上半分で $y$ 座標が最大となるのは、円の最上点である。したがって $\boxed{P\left(\frac{a}{b},\frac{1}{b}\right)}$ である。

(3)

円の中心を $C_0=\left(\frac{a}{b},0\right)$ とする。原点 $O$ を通る接線の接点を $A(x_A,y_A)$ とする。接線 $OA$ は半径 $C_{0}A$ と直交するので $\left(x_A-\frac{a}{b},y_A\right)\cdot (x_A,y_A)=0$ である。すなわち

である。

一方、$A$ は円上にあるので

である。(2)から(1)を引くと $-\frac{a}{b}{x}_A+1=0$ だから $x_A=\frac{b}{a}$ である。これを(1)に代入すると $\frac{b^2}{a^2}+y_A^2-\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=0$ すなわち $y_A^2=1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{1}{a^2}$ である。上半分なので $y_A>0$ であり、$\boxed{A\left(\frac{b}{a},\frac{1}{a}\right)}$ である。

(4)

点 $B$ は $(x_A,0)$ だから、三角形 $OAB$ の面積は $\frac{1}{2}{x}_A{y}_A=\frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}\cdot \frac{1}{a}=\frac{b}{2a^2}$ である。$a^2-b^2=1$ より $b^2=a^2-1$ である。面積は正なので、面積の2乗を最大にすればよい。 ${\left(\frac{b}{2a^2}\right)}^2=\frac{a^2-1}{4a^4}$ である。ここで $u=a^2$ とおくと、$a>1$ より $u>1$ であり、最大化すべき式は $\frac{u-1}{4u^2}$ である。定数 $1/4$ を除き $g(u)=\frac{u-1}{u^2}$ とおくと $g^{\prime }(u)=\frac{u^2-2u(u-1)}{u^4}=\frac{2-u}{u^3}$ である。したがって $u=2$ で最大となる。

よって $a^2=2,b^2=1$ であり、$a>1,b>0$ から $\boxed{a=\sqrt{2},b=1}$ である。このとき $\boxed{A\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)}$ であり、面積は $\boxed{\frac{1}{4}}$ である。