名古屋大学 2003年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x^{2} + y^{2} = a^{2}$ で表される図形の $y ≦ 0$ の部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる容器 $A$ と， $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ で表される図形の $y ≦ 0$ の部分を $y$ 軸のまわりに1回転してできる容器 $B$ がある．いずれの容器にも水がいっぱいに満たされているとする．これらの容器をそれぞれゆっくりと傾けて水を出すとき，つぎの各問に答えよ．ただし， $a, b > 0$ とする．

(1) 容器 $A$ を角度 $θ$ ラジアン $(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ だけ傾けたときの水面の面積 $S_{A} (θ)$ を求めよ．

(2) 容器 $A$ を傾け始めてから傾きが $θ$ ラジアンになるまでに流れ出る水量 $W_{A} (θ)$ を求めよ．

(3) 容器 $B$ を傾け始めてから傾きが $ϕ$ ラジアンになるまでに流れ出る水量を $W_{B} (ϕ)$ とする．このとき，比

r = \frac{W _{B} ( \frac{π}{2} )}{W _{A} ( \frac{π}{2} )}

を求めよ．

(4) $W_{B} (ϕ) = r W_{A} (θ)$ となるとき， $tan θ$ を $ϕ$ の関数として求めよ．

出典：名古屋大学 2003年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

容器を傾けた後に残る水面は、傾いた容器の最も低い縁を通る平面になる。球形の容器 $A$ では、この平面の中心からの距離が $a sin θ$ で、水面は半径 $a cos θ$ の円になる。流れ出た水量は、中心から距離0から $a sin θ$ までの球の断面積を積分して求める。楕円体の容器 $B$ は、 $y$ 方向を $a / b$ 倍すると半径 $a$ の球に戻るので、体積比と切断平面の距離比を使って $A$ の式に帰着する。

解答

(1)

容器 $A$ は半径 $a$ の球の下半分である。容器を角度 $θ$ だけ傾けると、こぼれた後の水面は、傾いた上端の最も低い点を通る平面になる。この平面は球の中心から距離 $a sin θ$ の位置にある。

半径 $a$ の球を、中心から距離 $a sin θ$ の平面で切ると、切り口の半径は $a^{2} - a^{2} sin^{2} θ = a cos θ$ である。したがって水面の面積は $S_{A} (θ) = π a^{2} cos^{2} θ$ である。

(2)

傾きが $θ$ になるまでに流れ出る水は、球の中心から距離0の平面から距離 $a sin θ$ の平面までにある部分である。中心からの距離を $u$ として、この部分を平行な平面で切ると、断面積は $π (a^{2} - u^{2})$ である。したがって $W_{A} (θ) = \int_{0}^{a s i n θ} π (a^{2} - u^{2}) d u$ である。計算して $W_{A} (θ) = π [a^{2} u - \frac{u ^{3}}{3}]_{0}^{a s i n θ}$

= π a^{3} (sin θ - \frac{sin ^{3} θ}{3}) = \frac{π a ^{3}}{3} (3 sin θ - sin^{3} θ)

である。

(3)

容器 $B$ は、半径 $a$ の球の下半分を $y$ 方向に $b / a$ 倍したものと見られる。したがって、全体の容量は容器 $A$ の容量の $b / a$ 倍である。 $θ = π /2$ , $ϕ = π /2$ まで傾けると、どちらの容器も水がすべて流れ出る。よって $r = \frac{W _{B} ( π /2 )}{W _{A} ( π /2 )} = \frac{b}{a}$ である。

(4)

容器 $B$ の断面で考える。楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ に対して、 $Y = (a / b) y$ と置くと $x^{2} + Y^{2} = a^{2}$ となり、半径 $a$ の円に移る。3次元でも同様に、 $y$ 方向を $a / b$ 倍すれば、容器 $B$ は半径 $a$ の半球に移る。

容器 $B$ を角度 $ϕ$ だけ傾けたとき、水面は断面で $x sin ϕ + y cos ϕ = a sin ϕ$ と表される直線に対応する。 $Y = (a / b) y$ を用いると $x sin ϕ + \frac{b}{a} Y cos ϕ = a sin ϕ$ である。半径 $a$ の円に移した後、この直線の中心からの距離を $a s$ と書くと、点と直線の距離公式により $s = \frac{a s i n ϕ}{a ^{2} s i n ^{2} ϕ + b ^{2} c o s ^{2} ϕ}$ である。

(2)の式から、半径 $a$ の半球で中心からの距離の比が $s$ のところまで流れ出る水量は $\frac{π a ^{3}}{3} (3 s - s^{3})$ である。容器 $B$ の体積は、これを $b / a$ 倍したものだから $W_{B} (ϕ) = \frac{b}{a} \cdot \frac{π a ^{3}}{3} (3 s - s^{3})$ である。一方、(3)より $r = b / a$ であるから

r W_{A} (θ) = \frac{b}{a} \cdot \frac{π a ^{3}}{3} (3 sin θ - sin^{3} θ)

である。

条件 $W_{B} (ϕ) = r W_{A} (θ)$ は $3 s - s^{3} = 3 sin θ - sin^{3} θ$ と同値である。 $0 ≦ s ≦ 1$ , $0 ≦ sin θ ≦ 1$ で、関数 $3 u - u^{3}$ は増加する。実際 $(3 u - u^{3})^{'} = 3 (1 - u^{2}) ≧ 0$ である。したがって $sin θ = s$ である。

よって $an θ = \frac{s}{1 - s ^{2}}$ であり、上の $s$ の式を代入すると $1 - s^{2} = \frac{b c o s ϕ}{a ^{2} s i n ^{2} ϕ + b ^{2} c o s ^{2} ϕ}$ だから $an θ = \frac{a}{b} an ϕ$ である。

名古屋大学 2003年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2003年度
後期・理系数学後期第3問