名古屋大学 2002年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = 3 x + 6 sin x$ は区間 $0 ≦ x ≦ 2 π$ で2つの極値 $f (a)$ ， $f (b)$ $(a < b)$ をもつ．また， $y = g (x)$ を点 $(b, f (b))$ を通る傾き3の直線とする．つぎの各問に答えよ．

(1) $f (a)$ および $f (b)$ を求めよ．

(2) 関数 $g (c) = f (a)$ を満たす $c$ を求めよ．

(3) 関数 $y = f (x)$ と $y = g (x)$ のグラフの概形をかけ．

(4) 曲線 $y = f (x)$ $(0 ≦ x ≦ b)$ ，
線分 $y = g (x)$ $(b ≦ x ≦ 2 π)$ ，
直線 $y = d$ （ただし， $d$ は定数で， $d = g (2 π)$ ），
および $y$ 軸で囲まれる図形を $y$ 軸のまわりに回転してできる器を考える．この器の縁（ $x = 2 π$ の円周上）から静かに水を入れるとき，器の底（原点）に水が達するまでに水はどのくらい入るか．

出典：名古屋大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

まず $f^{'} (x) = 3 + 6 cos x$ を調べ、区間 $[0, 2 π]$ における極大点 $a$ と極小点 $b$ を求める。直線 $g$ は点 $(b, f (b))$ を通り傾き3なので、式がすぐ決まる。交点 $c$ は $g (c) = f (a)$ から求める。最後の体積は、器を $y$ 軸のまわりに回転したものなので、円筒殻の方法で $2 π x$ を掛けて積分する。水面が $y = f (a)$ に達したとき、 $x = a$ から $b$ までは曲線 $y = f (x)$ 、 $x = b$ から $c$ までは直線 $y = g (x)$ が底になる。

解答

(1) $f (x) = 3 x + 6 sin x$ より $f^{'} (x) = 3 + 6 cos x = 3 (1 + 2 cos x)$ である。したがって $f^{'} (x) = 0$ となるのは $cos x = - \frac{1}{2}$ すなわち $x = \frac{2 π}{3}, \frac{4 π}{3}$ である。 $f^{'}$ の符号は、 $0 < x < \frac{2 π}{3}$ で正、 $\frac{2 π}{3} < x < \frac{4 π}{3}$ で負、 $\frac{4 π}{3} < x < 2 π$ で正である。よって極大点は $a = \frac{2 π}{3}$ であり、極小点は $b = \frac{4 π}{3}$ である。

(2) 直線 $g$ は傾き3で、点 $(b, f (b))$ を通る。ここで $f (b) = 3 \cdot \frac{4 π}{3} + 6 sin \frac{4 π}{3} = 4 π - 33$ である。したがって $g (x) = 3 (x - \frac{4 π}{3}) + 4 π - 33 = 3 x - 33$ である。よって $g (x) = 3 x - 33$ である。

(3) まず $f (a) = 3 \cdot \frac{2 π}{3} + 6 sin \frac{2 π}{3} = 2 π + 33$ である。 $c$ は $g (c) = f (a)$ を満たすから、 $3 c - 33 = 2 π + 33$ である。したがって $c = \frac{2 π}{3} + 23$ である。実際に $\frac{4 π}{3} < c < 2 π$ であり、右側の斜面上の点である。

(4) 水を注ぐと、底に到達する直前の水面は高さ $f (a)$ で止まる。 $x = a$ から $x = b$ までは曲線 $y = f (x)$ が水の下側の境界であり、 $x = b$ から $x = c$ までは直線 $y = g (x)$ が下側の境界である。 $y$ 軸のまわりの回転体の体積を円筒殻で表すと $V = 2 π \int_{a}^{b} x {f (a) - f (x)} d x + 2 π \int_{b}^{c} x {f (a) - g (x)} d x$ である。

ここで $f (a) - f (x) = 2 π + 33 - 3 x - 6 sin x$ であり、また $f (a) - g (x) = 2 π + 63 - 3 x$ である。したがって $V = 2 π \int_{2 π /3}^{4 π /3} x (2 π + 33 - 3 x - 6 sin x) d x$ $+ 2 π \int_{4 π /3}^{2 π /3 + 23} x (2 π + 63 - 3 x) d x$ となる。

部分積分 $\int x sin x d x = - x cos x + sin x$ を用いて計算すると、第一の積分と第二の積分を合わせて $V = 4 π {- 3 π^{2} + 5 π + 93}$ となる。よって求める水の量は $4 π (- 3 π^{2} + 5 π + 93)$ である。

名古屋大学 2002年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

名古屋大学 2002年度
後期・理系数学後期第3問