名古屋大学 2002年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

つぎの各問に答えよ．ただし， $i$ は虚数単位である．

(1) 複素数 $z$ と共役な複素数を $\overline{z}$ とするとき，任意の整数 $n$ に対して，つぎの(a)，(b)が成り立つことを示せ．ただし， $z \neq = 0$ とする．

(a) $z^{n} + (\overline{z})^{n}$ は実数である．

(b) $z^{n} - (\overline{z})^{n}$ は0または純虚数である．

(2) $θ_{1}$ ， $θ_{2}$ ， $p$ ， $q$ を実数とし，

θ_{1} + θ_{2} = π, α = p + q i, β = - p + q i

とするとき，つぎの各問に答えよ．ただし， $α \neq = 0$ とする．

(a)

A_{n} = α^{n} cos n θ_{1} + β^{n} cos n θ_{2}, B_{n} = α^{n} sin n θ_{1} + β^{n} sin n θ_{2}

とするとき，任意の整数 $n$ に対して，つぎの(i)，(ii)が成り立つことを示せ．

(i) $A_{n}$ は実数である．

(ii) $B_{n}$ は0または純虚数である．

(b) $z_{1} = cos θ_{1} + i sin θ_{1}$ ， $z_{2} = cos θ_{2} + i sin θ_{2}$ とし， $C_{n} = (α z_{1})^{n} + (β z_{2})^{n}$ とするとき，任意の整数 $n$ に対して $C_{n}$ は実数であることを示せ．

出典：名古屋大学 2002年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1) は複素数の共役と整数乗の関係を用いる。 $z \neq = 0$ なので負の整数乗についても $\overline{z^{n}} = \overline{z}^{n}$ が成り立つことに注意する。(2a) は $θ_{2} = π - θ_{1}$ , $β = - \overline{α}$ を使い、 $A_{n}, B_{n}$ を $α^{n}$ と $\overline{α}^{n}$ の和・差に直して実数性と純虚数性を示す。(2b) は $z_{2} = - \overline{z_{1}}$ を見抜き、 $β z_{2} = \overline{α z_{1}}$ に帰着させる。

解答

(1) $z \neq = 0$ であり、 $n$ は整数である。正の整数乗では明らかに $\overline{z^{n}} = \overline{z}^{n}$ であり、負の整数乗についても

\overline{z^{- m}} = \overline{\frac{1}{z ^{m}}} = \frac{1}{z ^{m}} = \frac{1}{z ^{m}} = \overline{z}^{- m}

が成り立つ。したがってすべての整数 $n$ で $\overline{z^{n}} = \overline{z}^{n}$ である。

よって

\overline{z^{n} + \overline{z}^{n}} = \overline{z}^{n} + z^{n} = z^{n} + \overline{z}^{n}

だから、 $z^{n} + \overline{z}^{n}$ は実数である。また、

\overline{z^{n} - \overline{z}^{n}} = \overline{z}^{n} - z^{n} = - (z^{n} - \overline{z}^{n})

であるから、 $z^{n} - \overline{z}^{n}$ は純虚数である。すなわち

z^{n} + \overline{z}^{n} は実数, z^{n} - \overline{z}^{n} は純虚数

である。

(2a) $θ_{1} + θ_{2} = π$ より $θ_{2} = π - θ_{1}$ である。また $β = - p + q i = - (p - q i) = - \overline{α}$ である。

したがって $cos n θ_{2} = cos (nπ - n θ_{1}) = (- 1)^{n} cos n θ_{1}$ であり、 $sin n θ_{2} = sin (nπ - n θ_{1}) = (- 1)^{n + 1} sin n θ_{1}$ である。また $β^{n} = (- \overline{α})^{n} = (- 1)^{n} \overline{α}^{n}$ である。これらを用いると

A_{n} = α^{n} cos n θ_{1} + β^{n} cos n θ_{2} = α^{n} cos n θ_{1} + \overline{α}^{n} cos n θ_{1}

だから $A_{n} = (α^{n} + \overline{α}^{n}) cos n θ_{1}$ である。(1) より $α^{n} + \overline{α}^{n}$ は実数であり、 $cos n θ_{1}$ も実数なので、 $A_{n}$ は実数である。

同様に

B_{n} = α^{n} sin n θ_{1} + β^{n} sin n θ_{2} = α^{n} sin n θ_{1} - \overline{α}^{n} sin n θ_{1}

だから $B_{n} = (α^{n} - \overline{α}^{n}) sin n θ_{1}$ である。(1) より $α^{n} - \overline{α}^{n}$ は純虚数であり、 $sin n θ_{1}$ は実数なので、 $B_{n}$ は純虚数である。

よって $A_{n} は実数, B_{n} は純虚数$ である。

(2b) $z_{1} = cos θ_{1} + i sin θ_{1}, z_{2} = cos θ_{2} + i sin θ_{2}$ とおく。 $θ_{2} = π - θ_{1}$ だから $z_{2} = - cos θ_{1} + i sin θ_{1} = - \overline{z_{1}}$ である。また $β = - \overline{α}$ より $β z_{2} = (- \overline{α}) (- \overline{z_{1}}) = \overline{α z_{1}}$ となる。

したがって

C = (α z_{1})^{n} + (β z_{2})^{n} = (α z_{1})^{n} + \overline{(α z_{1})}^{n}

である。(1) を $z = α z_{1}$ に適用すれば、この和は実数である。よって $C は実数$ である。

名古屋大学 2002年度後期・理系数学 後期第2問

問題

方針

解答

名古屋大学 2002年度
後期・理系数学後期第2問