名古屋大学 2002年度
後期・理系数学 後期第1問

解答

(1) 条件 $x+2y=1$ から $y=\frac{1-x}{2}$ である。したがって $k=x^2+2y^2=x^2+2{\left(\frac{1-x}{2}\right)}^2=\frac{3}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$ となる。

また、$xy\le 0$ である。直線 $x+2y=1$ 上では、$x\le 0$ のとき $y\ge \frac{1}{2}>0$、$x\ge 1$ のとき $y\le 0$ であり、許される範囲は $x\le 0\text{または}x\ge 1$ である。

二次関数 $\frac{3}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$ の軸は $x=\frac{1}{3}$ で、これは許される範囲に入らない。よって $x\le 0$ では端 $x=0$ で最小となり、$k=\frac{1}{2}$ である。一方、$x\ge 1$ では端 $x=1$ で最小となり、$k=1$ である。したがって最小値は $\boxed{\frac{1}{2}}$ である。

(2) 不等式を $y$ について書くと $y\le \frac{1-x}{2},y\le 4x+1,y\ge \frac{x}{2}+\frac{1}{4}$ である。この3直線で囲まれる三角形の頂点は

である。 $k=x^2+2y^2$ は内部で

を満たす点 $(0,0)$ をもつが、この点は領域に含まれない。したがって最小値は境界上で調べればよい。

境界 $y=\frac{x}{2}+\frac{1}{4}$ 上では $k=x^2+2{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{4}\right)}^2=\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{8}$ である。これは $x=-\frac{1}{6}$ で最小となり、そのとき

である。この点は該当する辺の上にある。

残りの2辺では、最小点を調べても $\frac{1}{12}$ より小さくならない。実際、$y=\frac{1-x}{2}\text{上では}k=\frac{3}{2}{x}^2-x+\frac{1}{2}$ であり、この辺の範囲での最小値は端 $x=\frac{1}{4}$ で $\frac{11}{32}$ である。また $y=4x+1\text{上では}k=33x^2+16x+2$ であり、この辺の範囲での最小値は端 $x=-\frac{3}{14}$ で $\frac{15}{196}$ である。いずれも $\frac{1}{12}$ 以上である。

よって求める最小値は $\boxed{\frac{1}{12}}$ である。

(3) $xy>0$ より、$x$ と $y$ は同符号であり、$\frac{x}{y}>0,\frac{2y}{x}>0$ である。したがって $\frac{k}{l}=\frac{x^2+2y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{2y}{x}$ と変形できる。

相加相乗平均より

である。等号は $\frac{x}{y}=\frac{2y}{x}$ すなわち $x^2=2y^2$ のとき成立する。これは $xy>0$ のもとで実現できるので、最小値は $\boxed{2\sqrt{2}}$ である。