名古屋大学 2002年度文系数学第3問(b) 解答・解説

問題

辺の長さがそれぞれ $A B = 10$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ の $△ A B C$ がある．辺 $A B$ 上に点 $P$ ，辺 $A C$ 上に点 $Q$ を， $△ A P Q$ の面積が $△ A B C$ の面積の $\frac{1}{2}$ になるようにとる．

(1) 2辺の長さの和 $A P + A Q$ を $u$ とおく． $△ A P Q$ の周の長さ $l$ を $u$ を用いて表せ．

(2) $l$ が最小となるときの $A P$ ， $A Q$ ， $l$ の値を求めよ．

出典：名古屋大学 2002年度前期日程第2次学力試験文系第3問(b)

方針

$P, Q$ はそれぞれ辺 $A B, A C$ 上にあるので、 $A P = x$ , $A Q = y$ とおく。三角形 $A P Q$ と $A B C$ は頂角 $A$ を共有するため、面積比は $x y / (A B \cdot A C)$ で表せる。そこから $x y = 40$ を得る。あとは余弦定理で $P Q$ を $x + y = u$ の式に直し、 $x y$ が一定であることを使って周長 $l$ を最小化する。

解答

$A P = x$ , $A Q = y$ とおく。 $0 < x \leq 10$ , $0 < y \leq 8$ である。

まず三角形 $A B C$ について余弦定理を用いると、

cos A = \frac{A B ^{2} + A C ^{2} - B C ^{2}}{2 \cdot A B \cdot A C} = \frac{1 0 ^{2} + 8 ^{2} - 6 ^{2}}{2 \cdot 10 \cdot 8} = \frac{4}{5}

である。

(1) 三角形 $A P Q$ と三角形 $A B C$ は、どちらも頂角 $A$ を含む。したがって面積比は $\frac{[ A P Q ]}{[ A B C ]} = \frac{A P \cdot A Q}{A B \cdot A C} = \frac{x y}{10 \cdot 8}$ である。条件よりこの比は $\frac{1}{2}$ だから $x y = 40$ である。

また、余弦定理より $P Q^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x y cos A = x^{2} + y^{2} - \frac{8}{5} x y$ である。 $u = x + y$ とおくと $x^{2} + y^{2} = u^{2} - 2 x y = u^{2} - 80$ なので $P Q^{2} = u^{2} - 80 - 64 = u^{2} - 144$ となる。したがって $P Q = u^{2} - 144$ であり、三角形 $A P Q$ の周の長さは $l = u + u^{2} - 144$ である。

(2) $x y = 40$ であるから、相加相乗平均より $u = x + y \geq 2 x y = 410$ である。等号は $x = y = 210$ のとき成立する。この値は $210 < 8 < 10$ を満たすので、実際に $P, Q$ はそれぞれ辺上に取れる。 $u > 12$ の範囲では $l (u) = u + u^{2} - 144$ は増加関数である。実際、 $l^{'} (u) = 1 + \frac{u}{u ^{2} - 144} > 0$ である。したがって $l$ は $u = 410$ のとき最小となる。

このとき $P Q = (410)^{2} - 144 = 160 - 144 = 4$ であるから、最小値は $410 + 4$ である。

名古屋大学 2002年度文系数学 第3問(b)

問題

方針

解答

名古屋大学 2002年度
文系数学第3問(b)