名古屋大学 2002年度
文系数学 第1問

解答

$n$ は正の整数であるから、$u=\frac{1}{n}$ とおくと $0<u\le 1$ である。

まず $f(t)=(1+t{)}^{1/5}(t>-1)$ とおくと、$f^{\prime \prime }(t)=-\frac{4}{25}(1+t{)}^{-9/5}<0$ である。したがって $f$ は上に凸であり、点 $t=0$ における接線 $y=1+\frac{t}{5}$ より下にある。よって $u>0$ に対して $(1+u{)}^{1/5}<1+\frac{u}{5}$ である。これより $a=(1+u{)}^{1/5}-1<\frac{u}{5}=\frac{1}{5n}=c$ を得る。

次に $-u\in [-1,0)$ を代入しても、同じ接線評価から $(1-u{)}^{1/5}<1-\frac{u}{5}$ が成り立つ。したがって $b=1-(1-u{)}^{1/5}>\frac{u}{5}=c$ である。

以上より $\boxed{a<c<b}$ である。

別解。平均値の定理でも同じ比較ができる。$0<\xi <u$, $-u<\eta <0$ を用いて $(1+u{)}^{1/5}-1=\frac{1}{5}(1+\xi {)}^{-4/5}u,$ $1-(1-u{)}^{1/5}=\frac{1}{5}(1+\eta {)}^{-4/5}u$ と表せる。$\xi >0$ だから $(1+\xi {)}^{-4/5}<1$、$\eta <0$ だから $(1+\eta {)}^{-4/5}>1$ である。よって $a<\frac{u}{5}<b$ となり、やはり $a<c<b$ である。