問題
次の様に円を定める．まず，はを中心とする半径の円，はを中心とする半径の円とする．次に，に外接し軸に接する円をとする．さらに，に対し，順に，，に外接し軸に接する円ででないものをとする． の中心の座標をとするとき，次の問いに答えよ．ただし，2つの円が外接するとは，中心間の距離がそれぞれの円の半径の和に等しいことをいう．
(1) に対し，を示せ．
(2) を求めよ．
出典：名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
各円 は 軸に接するので、中心の 座標 がそのまま半径になる。まず と の外接条件から を導く。次に隣り合う の外接条件にこの関係を代入すると、 だけの漸化式になる。 は と異なる側の接円を選ぶので、 となる枝を採用し、逆数を取って等差数列に帰着させる。
解答
円 は 軸に接し、中心が であるから、半径は である。
(1) 円 の中心は 、半径は である。 と は外接するので、中心間距離は半径の和に等しい。したがって である。両辺を展開すると より を得る。
(2) 隣り合う円 と は外接するから、 である。右辺と左辺の の項を整理すると となる。(1) より だから である。よって を得る。
ここで の中心は である。 は と 軸に接するもう一つの円であり、 だから より である。以後も は とは異なる円を選ぶので、正の列 は を満たす。したがって であり、両辺を で割ると となる。 であるから であり、 である。