問題
を原点とする座標平面上の曲線上の2点，に対し，とおく．
(1) のとり得る値の範囲を求めよ．
(2) のとき，となる点の軌跡を求め，図示せよ．
出典：名古屋大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
放物線上の2点を で表すと、条件に現れる量は だけになる。まず とおき、 の最小値を平方完成または二次関数の頂点で求める。次に のときは の二通りに分かれるので、点 を で表し、判別式から実数 が存在する範囲を確認する。
解答
放物線 上の点を とおく。このとき である。
(1) とおくと である。 は任意の実数を取り得るので、 も任意の実数を取り得る。したがって であり、等号は のときに成立する。よって である。
(2) 点 の座標を とおくと、 である。
条件 は すなわち だから、 である。
まず のとき、 である。ただし、 は二次方程式 の2つの実根でなければならない。よって判別式より すなわち である。
次に のとき、 である。この場合、 は の2つの実根であり、判別式は なので、すべての実数 に対して実数 が存在する。
したがって の軌跡は である。