名古屋大学 2001年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

ハート，スペード，クラブ，ダイヤそれぞれ13枚からなる52枚のトランプカードがある．つぎの各問に答えよ．

(1) 52枚のカードをよくきって， $l$ 枚のカードを抜き出したとき，ハートが $k$ 枚である確率を求めよ．

(2) $n$ 枚のカードが与えられ，そのうち，ハートが $m$ 枚であった．

(i) この $n$ 枚のカードを無作為に1列に並べるとき， $m$ 枚のハートが連続して並ぶ確率を求めよ．

(ii) この $n$ 枚のカードを無作為に1列に並べるとき，どのハートの隣のカードもハート以外である確率を求めよ．

出典：名古屋大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

(1)は52枚から $l$ 枚を選ぶ全事象を分母にし、ハートから $k$ 枚、ハート以外から $l - k$ 枚を選ぶ。(2)(i)は、 $m$ 枚のハートを1つの連続したブロックとして扱い、ブロック内部とその他のカードの並べ方を数える。(2)(ii)は、先に非ハート $n - m$ 枚を並べ、その間と両端にできる $n - m + 1$ 個の隙間から、ハートを入れる場所を $m$ 個選ぶ。

解答

(1)

52枚から $l$ 枚を抜き出す方法は $_{52} C_{l}$ 通りである。

このうちハートが $k$ 枚であるためには、13枚のハートから $k$ 枚を選び、残り $l - k$ 枚を39枚のハート以外から選べばよい。したがって、そのような選び方は $_{13} C_{k}_{39} C_{l - k}$ 通りである。

よって求める確率は

\frac{_{13} C _{k} _{39} C _{l - k}}{_{52} C _{l}}

である。ただし、 $k$ が $max (0, l - 39) ≦ k ≦ min (13, l)$ を満たさない場合は確率0である。

(2)(i)

まず $m ≧ 1$ とする。 $m$ 枚のハートが連続して並ぶためには、 $m$ 枚のハートを1つのかたまりとして考えればよい。

ハート以外の $n - m$ 枚を並べると、その前後と間に、ハートのかたまりを入れる位置が $n - m + 1$ 通りある。ハート以外の並べ方は $(n - m)!$ 通り、かたまりの中のハートの並べ方は $m!$ 通りである。

したがって条件を満たす並べ方は $(n - m + 1) (n - m)! m!$ 通りである。全体の並べ方は $n!$ 通りなので、確率は $\frac{( n - m + 1 ) m ! ( n - m )!}{n !}$ である。

なお $m = 0$ の場合はハートがないので、条件は自動的に満たされ、確率は1である。

(2)(ii)

まず $n - m$ 枚のハート以外のカードを一列に並べる。この並べ方は $(n - m)!$ 通りである。この列の両端とカードの間には、ハートを入れられる場所が $n - m + 1$ 個ある。

どのハートの隣もハート以外であるためには、同じ場所に2枚以上のハートを入れてはいけない。したがって、 $n - m + 1$ 個の場所から $m$ 個を選び、そこにハートを1枚ずつ入れる。場所の選び方は $_{n - m + 1} C_{m}$ 通りで、ハートの並べ方は $m!$ 通りである。

条件を満たす並べ方は $(n - m)!_{n - m + 1} C_{m} m!$ 通りである。全体の並べ方 $n!$ 通りで割ると

\frac{( n - m )! m ! _{n - m + 1} C _{m}}{n !} = \frac{_{n - m + 1} C _{m}}{_{n} C _{m}}

である。

ただし $m > n - m + 1$ のときは、ハートを互いに隣り合わないように入れる場所が足りないので、確率は0である。

名古屋大学 2001年度後期・理系数学 後期第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)(i)

(2)(ii)

名古屋大学 2001年度
後期・理系数学後期第4問