名古屋大学 2001年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を実数の定数とし，関数

f_{0} (x) = 1,

f_{1} (x) = x + a f_{0} (x),

f_{2} (x) = x^{2} + b f_{1} (x) + c f_{0} (x)

を考える．相異なる $j$ ， $k$ に対して

\int_{- 1}^{1} f_{j} (x) f_{k} (x) d x = 0

が成り立つとき，つぎの各問に答えよ．

(1) 定数 $a$ ， $b$ ， $c$ を求めよ．

(2) $j = 0, 1, 2$ のそれぞれに対して

\int_{- 1}^{1} {f_{j} (x)}^{2} d x

の値を求めよ．

(3) $j = 0, 1, 2$ のそれぞれに対して

\int_{- 1}^{1} f_{j} (x) cos (π x) d x

の値を求めよ．

(4) つぎの $I$ の値が最小となる実数 $k_{0}$ ， $k_{1}$ ， $k_{2}$ の値を求めよ．さらに $I$ の最小値を求めよ．

I = \int_{- 1}^{1} {cos (π x) - k_{0} f_{0} (x) - k_{1} f_{1} (x) - k_{2} f_{2} (x)}^{2} d x

出典：名古屋大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

直交条件を順に使って $a, b, c$ を決める。偶奇性により多くの積分は0になり、 $f_{0} = 1$ 、 $f_{1} = x$ 、 $f_{2} = x^{2} - 1/3$ が得られる。(4)は二乗を展開し、 $f_{0}, f_{1}, f_{2}$ が互いに直交していることから、各 $k_{j}$ について独立な平方完成に分解する。最小にする係数は $\int f_{j} cos (π x) / \int f_{j}^{2}$ であり、最小値は $\int cos^{2} (π x) d x$ から寄与分を引いて求める。

解答

(1)

$f_{0} (x) = 1, f_{1} (x) = x + a$ である。直交条件 $\int_{- 1}^{1} f_{0} (x) f_{1} (x) d x = 0$ より $\int_{- 1}^{1} (x + a) d x = 2 a = 0$ であるから $a = 0$ である。したがって $f_{1} (x) = x$ である。

次に $f_{2} (x) = x^{2} + b x + c$ である。条件 $\int_{- 1}^{1} f_{1} (x) f_{2} (x) d x = 0$ より $\int_{- 1}^{1} x (x^{2} + b x + c) d x = 0$ である。奇関数の積分は0なので、残るのは $b \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2 b}{3} = 0$ であり、 $b = 0$ である。

さらに $\int_{- 1}^{1} f_{0} (x) f_{2} (x) d x = 0$ より $\int_{- 1}^{1} (x^{2} + c) d x = \frac{2}{3} + 2 c = 0$ だから $c = - \frac{1}{3}$ である。よって $a = 0, b = 0, c = - \frac{1}{3}$ である。

(2)

(1)より $f_{0} (x) = 1, f_{1} (x) = x, f_{2} (x) = x^{2} - \frac{1}{3}$ である。したがって $\int_{- 1}^{1} f_{0} (x)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} 1 d x = 2,$ $\int_{- 1}^{1} f_{1} (x)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} d x = \frac{2}{3}$ である。また

\int_{- 1}^{1} f_{2} (x)^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3})^{2} d x = \int_{- 1}^{1} (x^{4} - \frac{2}{3} x^{2} + \frac{1}{9}) d x = \frac{2}{5} - \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} + \frac{1}{9} \cdot 2 = \frac{8}{45} .

よって $2, \frac{2}{3}, \frac{8}{45}$ である。

(3)

まず

\int_{- 1}^{1} cos (π x) d x = [\frac{sin ( π x )}{π}]_{- 1}^{1} = 0

である。また $x cos (π x)$ は奇関数なので $\int_{- 1}^{1} x cos (π x) d x = 0$ である。

最後に

\int_{- 1}^{1} (x^{2} - \frac{1}{3}) cos (π x) d x = \int_{- 1}^{1} x^{2} cos (π x) d x

である。部分積分により

\int_{- 1}^{1} x^{2} cos (π x) d x = 2 \int_{0}^{1} x^{2} cos (π x) d x = 2 [\frac{x ^{2} sin ( π x )}{π} + \frac{2 x cos ( π x )}{π ^{2}} - \frac{2 sin ( π x )}{π ^{3}}]_{0}^{1} = - \frac{4}{π ^{2}} .

したがって $0, 0, - \frac{4}{π ^{2}}$ である。

(4)

$C (x) = cos (π x)$ と書く。 $f_{0}, f_{1}, f_{2}$ は互いに直交しているので、二乗を展開すると

I = \int_{- 1}^{1} C (x)^{2} d x - 2 j = 0 \sum 2 k_{j} \int_{- 1}^{1} C (x) f_{j} (x) d x + j = 0 \sum 2 k_{j}^{2} \int_{- 1}^{1} f_{j} (x)^{2} d x .

したがって各 $k_{j}$ は独立に決まり、最小にする値は $k_{j} = \frac{\int _{- 1}^{1} C ( x ) f _{j} ( x ) d x}{\int _{- 1}^{1} f _{j} ( x ) ^{2} d x}$ である。

(2)(3)より

k_{0} = 0, k_{1} = 0, k_{2} = \frac{- 4/ π ^{2}}{8/45} = - \frac{45}{2 π ^{2}}

である。

また $\int_{- 1}^{1} cos^{2} (π x) d x = \int_{- 1}^{1} \frac{1 + c o s ( 2 π x )}{2} d x = 1$ である。最小値は $1 - \frac{( - 4/ π ^{2} ) ^{2}}{8/45} = 1 - \frac{90}{π ^{4}}$ である。

よって $k_{0} = 0, k_{1} = 0, k_{2} = - \frac{45}{2 π ^{2}}$ であり、 $I_{m i n} = 1 - \frac{90}{π ^{4}}$ である。

名古屋大学 2001年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

名古屋大学 2001年度
後期・理系数学後期第3問