名古屋大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ $(n = 2, 3, 4, \dots\dots)$ で定まる数列 ${a_{n}}$ に関して，つぎの各問に答えよ．

(1) $n = 2 \sum \infty \frac{a _{n}}{a _{n - 1} a _{n + 1}}$ の値を求めよ．

(2) $n = 1, 2, 3$ のそれぞれについて，

a_{2 n + 2} = a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n}

が成り立つことを確かめよ．さらに， $a_{2 n + 1}$ を $a_{n + 1}$ ， $a_{n}$ で表す式を推測せよ．

(3) 自然数 $n$ に関する1組の式

{(2) で推測した式 a_{2 n + 2} = a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n}

がすべての自然数 $n$ に対して成り立つことを数学的帰納法を用いて証明せよ．

出典：名古屋大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

(1)は漸化式 $a_{n + 1} = a_{n} + a_{n - 1}$ から $a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1}$ として、項を $1/ a_{n - 1} - 1/ a_{n + 1}$ に分解する。部分和を取ると最初の2項だけが残り、末尾の逆数は0へ近づく。(2)(3)は、 $a_{2 n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2}$ と推測し、与えられた $a_{2 n + 2}$ の式と2本同時に数学的帰納法で進める。

解答

(1)

漸化式から $a_{n} = a_{n + 1} - a_{n - 1}$ である。したがって

\frac{a _{n}}{a _{n - 1} a _{n + 1}} = \frac{a _{n + 1} - a _{n - 1}}{a _{n - 1} a _{n + 1}} = \frac{1}{a _{n - 1}} - \frac{1}{a _{n + 1}}

である。

よって $N ≧ 2$ とすると

n = 2 \sum N \frac{a _{n}}{a _{n - 1} a _{n + 1}} = n = 2 \sum N (\frac{1}{a _{n - 1}} - \frac{1}{a _{n + 1}}) = \frac{1}{a _{1}} + \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{N}} - \frac{1}{a _{N + 1}} .

ここで $a_{1} = a_{2} = 1$ であり、数列 $a_{n}$ は正の整数で増加していくので $\frac{1}{a _{N}}, \frac{1}{a _{N + 1}} \to 0 (N \to \infty)$ である。したがって $n = 2 \sum \infty \frac{a _{n}}{a _{n - 1} a _{n + 1}} = 2$ である。

(2)

数列の初めの値は $a_{1} = 1, a_{2} = 1, a_{3} = 2, a_{4} = 3, a_{5} = 5, a_{6} = 8, a_{7} = 13, a_{8} = 21$ である。 $n = 1$ では $a_{4} = 3, a_{2}^{2} + 2 a_{2} a_{1} = 1 + 2 = 3$ である。 $n = 2$ では $a_{6} = 8, a_{3}^{2} + 2 a_{3} a_{2} = 4 + 4 = 8$ である。 $n = 3$ では $a_{8} = 21, a_{4}^{2} + 2 a_{4} a_{3} = 9 + 12 = 21$ である。よって与えられた式は $n = 1, 2, 3$ で成り立つ。

また、対応する奇数番目を見ると $a_{3} = 2 = a_{2}^{2} + a_{1}^{2},$ $a_{5} = 5 = a_{3}^{2} + a_{2}^{2},$ $a_{7} = 13 = a_{4}^{2} + a_{3}^{2}$ である。したがって $a_{2 n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2}$ と推測できる。

(3)

次の2式を同時に証明する。 $a_{2 n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2},$ $a_{2 n + 2} = a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n}$ である。 $n = 1$ では $a_{3} = 2 = a_{2}^{2} + a_{1}^{2}$ かつ $a_{4} = 3 = a_{2}^{2} + 2 a_{2} a_{1}$ であるから成り立つ。

ある自然数 $n$ で2式が成り立つと仮定する。漸化式より

a_{2 n + 3} = a_{2 n + 2} + a_{2 n + 1} = (a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n}) + (a_{n + 1}^{2} + a_{n}^{2}) = 2 a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2} .

一方 $a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_{n}$ なので

a_{n + 2}^{2} + a_{n + 1}^{2} = (a_{n + 1} + a_{n})^{2} + a_{n + 1}^{2} = 2 a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2}

である。よって $a_{2 n + 3} = a_{n + 2}^{2} + a_{n + 1}^{2}$ が成り立つ。

さらに

a_{2 n + 4} = a_{2 n + 3} + a_{2 n + 2} = (2 a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2}) + (a_{n + 1}^{2} + 2 a_{n + 1} a_{n}) = 3 a_{n + 1}^{2} + 4 a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2} .

一方

a_{n + 2}^{2} + 2 a_{n + 2} a_{n + 1} = (a_{n + 1} + a_{n})^{2} + 2 (a_{n + 1} + a_{n}) a_{n + 1} = 3 a_{n + 1}^{2} + 4 a_{n + 1} a_{n} + a_{n}^{2} .

したがって $a_{2 n + 4} = a_{n + 2}^{2} + 2 a_{n + 2} a_{n + 1}$ も成り立つ。

以上より、数学的帰納法によって2式はすべての自然数 $n$ で成り立つ。

名古屋大学 2001年度後期・理系数学 後期第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

名古屋大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問