問題
サイレンを断続的に鳴らして16秒の信号を作る．ただし，サイレンは1秒または2秒鳴り続けて1秒休み，これを繰り返す．また，信号はサイレンの音で始まり，サイレンの音で終わるものとする．
(1) 1秒または2秒鳴り続ける回数をそれぞれ回，回とするとき，，の満たす関係式を求めよ．
(2) 信号は何通りできるか．
出典：名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)
方針
1秒鳴る区間と2秒鳴る区間を合わせて 個の音の区間と見る。信号は音で終わるので、休みは音の区間の間にだけ入り、回数は 回である。総時間から を得て、その非負整数解ごとに、音の区間の並べ方を組合せで数える。
解答
(1)
1秒鳴る区間が 回、2秒鳴る区間が 回あるとする。音が鳴っている時間の合計は 秒である。
また、音の区間は全部で 個ある。信号はサイレンの音で始まり、サイレンの音で終わるので、休みは隣り合う音の区間の間にだけ入る。したがって休みの回数は 回であり、休み時間の合計も 秒である。
全体が16秒なので である。よって を得る。
(2)
は0以上の整数で、 を満たす。 が偶数でなければならないので、 は奇数である。調べると の3通りである。
それぞれについて、 個の音の区間のうち、どの 個を2秒鳴る区間にするかを選べば信号が決まる。したがって通り数は
である。よって求める総数は
通りである。
別解。1秒鳴って1秒休む区間を長さ2の部品、2秒鳴って1秒休む区間を長さ3の部品と考え、最後だけ休み1秒を余分に数えていると見ることもできる。全体16秒に最後の休み1秒を加えた17秒を、長さ2の部品 個と長さ3の部品 個で作るので、同じく となる。