名古屋大学 2001年度
文系数学 第1問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 関数、方程式・不等式
- 解法
- 絶対値の処理、場合分け
- 難易度
- 4 / 10 計算量 4 / 10 目安 —
問題
関数f(x)=−∣2x−1∣+1 (0≦x≦1)を用いて，関数g(x)=−∣2f(x)−1∣+1 (0≦x≦1)を考える．
0<c<1のとき，g(x)=cを満たすxを求めよ．
出典：名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
f(x) は区間 [0,1] で頂点 (1/2,1)、端点値0をもつ折れ線である。まず g(x)=c を ∣2f(x)−1∣=1−c に直し、f(x)=c/2 または f(x)=1−c/2 に分ける。次に一般に 0<u<1 に対する f(x)=u の2解を求め、2つの u に代入して4個の解を出す。
解答
0<c<1 とする。条件 g(x)=c は −∣2f(x)−1∣+1=c であるから ∣2f(x)−1∣=1−c と同値である。よって 2f(x)−1=1−c または 2f(x)−1=−(1−c) である。したがって f(x)=1−2c または f(x)=2c となる。
次に f(x)=u を解く。0<u<1 とすると −∣2x−1∣+1=u より ∣2x−1∣=1−u である。したがって 2x−1=1−uまたは2x−1=−(1−u) であり、x=1−2u,x=2u を得る。
ここで 0<c<1 なので、u=c/2 も u=1−c/2 も (0,1) に入る。したがって、すべての解は u=2c から x=4c,x=1−4c であり、u=1−2c から x=21−4c,x=21+4c である。
よって求める解は
x=4c,21−4c,21+4c,1−4c
である。いずれも 0<c<1 より [0,1] に含まれる。
別解。f は [0,1/2] で f(x)=2x、[1/2,1] で f(x)=2−2x である。さらに g=f∘f と見れば、g(x)=c は f(x) が f(u)=c の2解 u=c/2,1−c/2 のどちらかになることを意味する。各水平線がテント型のグラフと2点で交わるので、同じ4解が得られる。
