問題
，を正定数とし，平面ベクトル
を考える．線分の中点をとする．直線，上にない平面上の点に対し，点を通り，直線に平行な直線と直線との交点をとし，点を通り，直線に平行な直線と直線との交点をとすると，，と表される．ただし，，は実数である．
(1) を正定数とするとき，を満たす点のなす曲線の方程式を求めよ．
(2) 直線がと接するとき，の値を求めよ．
出典：名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(a)
方針
点 は斜交座標で と表せるので、まず通常の 座標へ変換する。条件 はこの斜交座標で放物線を表す。直線 は斜交座標では と を結ぶ直線なので 。これと放物線が接する条件を、2次方程式の判別式が0であることから求める。
解答
(1)
点 は直線 上にあり、 である。また を通り に平行な直線が と交わる点が なので、 は 方向である。同様に、 の条件から は 方向である。したがって と表せる。
いま であるから、 とすると である。よって である。
条件 を代入すると である。したがって曲線 の方程式は である。
(2)
点 は斜交座標で に対応する。また は の中点だから であり、斜交座標では に対応する。
したがって直線 は、 平面では2点 、 を通る直線であり、方程式は である。
曲線 は であるから、直線 と が接するためには が重解をもてばよい。整理すると である。この2次方程式が重解をもつ条件は判別式が0であることだから である。これを整理して となる。したがって である。
別解。(1)で得た通常座標の放物線と、直線 を直接連立してもよい。 と置けば結局 になるので、斜交座標で処理する方が計算の見通しがよい。