問題
，，は定数とし，とする．
(1) 曲線の接線で点（は実数）を通るものがただ一本存在することを示せ．
(2) (1)の接線が正の傾きを持つためのの範囲を求めよ．
出典：名古屋大学 2001年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
接点の 座標を と置き、接線の 切片を の関数として表す。点 を通る条件は となり、 から が一意に決まる。接線の傾きは なので、傾きが正になる の範囲を求め、単調な対応 で の範囲に移す。
解答
(1)
曲線を とおく。接点の 座標を とすると、接点は であり、接線の方程式は である。
この接線が点 を通る条件は、 を代入して である。ここで だから
したがって接線が を通る条件は である。 なので関数 は について狭義単調増加であり、実数全体を値域にもつ。よって任意の実数 に対して、これを満たす実数 はただ1つ存在する。接点 が一意に定まるので、接線もただ一本存在する。
(2)
接線の傾きは である。これが正であるための条件は である。
もし なら、 より であるから、正の傾きをもつ接線は存在しない。したがって、この場合に該当する はない。
以下 とする。このとき すなわち である。 は について狭義単調増加なので、 の範囲は端の値を代入して
である。これを整理すると
である。
以上より、 のときは該当する はなく、 のときは上の開区間が求める範囲である。