名古屋大学 2000年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

直線 $y = x$ $(0 ≦ x ≦ a)$ を $y$ 軸のまわりに1回転してできる容器がある．回転軸を鉛直にしてこの容器に水をいっぱいに満たした後，右図のように，静かに $θ$ ラジアン傾けて水を出し，そのままに保った．このときの容器内の水面の面積 $S (θ)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

容器を傾けた後の水面は水平面であり、容器固定の座標で見ると、最も低い縁を通る平面になる。円すいを $x^{2} + z^{2} ≦ y^{2}, 0 ≦ y ≦ a$ と置き、傾き角 $θ$ に対する水面の平面を立てる。 $0 ≦ θ < π /4$ ではこの平面が円すいを楕円に切るので、平面上の面積要素を考慮して積分する。 $θ ≧ π /4$ では平面が円すい内部に面積をもつ断面を作らない。

解答

容器の軸を $y$ 軸とし、半径方向を $x, z$ とする。円すいは $x^{2} + z^{2} ≦ y^{2}, 0 ≦ y ≦ a$ で表される。容器を $x$ 方向へ $θ$ だけ傾けたと考えると、鉛直方向の高さは容器固定座標で $y cos θ + x sin θ$ に比例する。水を満たしてから傾けると水はこぼれ、残った水面は最も低い縁を通る水平面になる。上縁 $y = a$ 、 $x^{2} + z^{2} = a^{2}$ のうち最も低い点は $x = - a, z = 0$ であるから、水面の平面は $y cos θ + x sin θ = a (cos θ - sin θ)$ である。 $0 ≦ θ < π /4$ とする。このとき右辺は正で、円すいの内部に面積をもつ断面ができる。平面の式から $y = \frac{a ( c o s θ - s i n θ ) - x s i n θ}{c o s θ}$ である。円すいとの境界では $x^{2} + z^{2} = y^{2}$ だから、固定した $x$ に対する幅は

2 (\frac{a ( cos θ - sin θ ) - x sin θ}{cos θ})^{2} - x^{2}

である。また水面は $x y$ 平面に対して傾いているので、 $x, z$ 平面への射影面積から水面上の面積へ直す倍率は $1/ cos θ$ である。

したがって水面の面積は

S (θ) = \frac{1}{cos θ} \int 2 (\frac{a ( cos θ - sin θ ) - x sin θ}{cos θ})^{2} - x^{2} d x

である。積分範囲は根号内が $0$ 以上となる範囲である。根号内を平方完成して楕円の面積として計算すると

S (θ) = \frac{π a ^{2} cos ^{2} θ - sin ^{2} θ}{( cos θ + sin θ ) ^{2}}

となる。 $θ = 0$ では $S (0) = π a^{2}$ となり、満水時の上面の円の面積と一致する。 $θ \to π /4 - 0$ では断面が一点に縮む。 $θ ≧ π /4$ では水面の平面が円すいの内部に面積をもつ部分を作らないので $S (θ) = 0$ である。

よって

S (θ) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{π a ^{2} cos ^{2} θ - sin ^{2} θ}{( cos θ + sin θ ) ^{2}} 0 (0 ≦ θ < \frac{π}{4}), (θ ≧ \frac{π}{4})

である。

名古屋大学 2000年度後期・理系数学 後期第3問

問題

方針

解答

名古屋大学 2000年度
後期・理系数学後期第3問