名古屋大学 2000年度
後期・理系数学 後期第2問

解答

(1)

$|z_0|=1$ なので $z_0=e^{i\varphi }$ とおく。すると $\overline{z_0}=e^{-i\varphi }$ であり、

である。$z_1$ が $z_0$ の実数倍であるとは、ある実数 $\lambda$ に対して $z_1=\lambda z_0$ となることである。上の式から、これは $e^{i\alpha }(1+E{e}^{-2i\varphi })=\lambda$ すなわち $1+E{e}^{-2i\varphi }=\lambda e^{-i\alpha }$ と同値である。

左辺 $1+E{e}^{-2i\varphi }$ は、$\varphi$ が動くと中心 $1$、半径 $E$ の円周を動く。$E>1$ なので、この円は原点を内部に含む。したがって原点を通り偏角 $-\alpha$ の方向をもつ直線とこの円は2点で交わる。交点に対応する $\varphi$ を取れば、上の等式を満たす実数 $\lambda$ が存在する。よってそのような $z_0$ は存在する。

(2)

(1)の条件を満たす $z_0$ について $z_1=\lambda z_0$ と書ける。$\lambda$ は実数である。このとき $z_{n+1}=e^{i\alpha }(z_n+E\overline{z_n})$ において、もし $z_n={\lambda }^n{z}_0$ なら $\lambda$ が実数であることから $z_{n+1}={\lambda }^n{e}^{i\alpha }(z_0+E\overline{z_0})={\lambda }^{n+1}{z}_0$ となる。したがって $z_n={\lambda }^n{z}_0$ である。よって $|z_n|\to 0$ となるための必要十分条件は、(1)で可能なすべての $\lambda$ について $|\lambda |<1$ である。 $\lambda$ は $1+E{e}^{-2i\varphi }=\lambda e^{-i\alpha }$ を満たすので $|\lambda e^{-i\alpha }-1|=E$ である。これを2乗すると $(\lambda \cos \alpha -1{)}^2+(\lambda \sin \alpha {)}^2=E^2$ より ${\lambda }^2-2\lambda \cos \alpha +1=E^2$ である。したがって可能な $\lambda$ は $\lambda =\cos \alpha \pm \sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }$ の2つである。

この2つがともに絶対値 $1$ 未満であるためには $-1<\cos \alpha -\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }$ かつ $\cos \alpha +\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }<1$ である。すなわち $\sqrt{E^2-{\sin }^2\alpha }<1-|\cos \alpha |$ が必要十分である。両辺は正でなければならないので、特に $|\cos \alpha |<1$ である。両辺を2乗して $E^2-{\sin }^2\alpha <(1-|\cos \alpha |{)}^2$ となる。${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha$ を用いて整理すると $E^2<2(1-|\cos \alpha |)$ である。

もともと $E>1$ であるから、求める範囲は $1<E<\sqrt{2(1-|\cos \alpha |)}$ である。ただしこの範囲が空でないためには $|\cos \alpha |<\frac{1}{2}$ が必要である。$|\cos \alpha |\geqq 1/2$ のときは条件を満たす $E>1$ は存在しない。