問題
下図に示すように，軸上の点に中心を持つ半径 の円がある．この円の，を満たす円弧に，直線上のを満たす任意の点から軸に平行に円弧に下ろした直線が円弧と交わる点をとする．つぎに，線分に関してとなるように点から引いた直線と軸との交点をとする．
つぎの問に答えよ．
(1) 点の座標をの関数として導け．
(2) 前問において，とおく．との関係を求めよ．
また，点の座標をの範囲で変化させたとき，点が描く軌跡を図示せよ．
(3) 線分と線分の長さの和をとする．の最小値を与えるの値とそのときのの値を求めよ．
方針
円弧上の点 は、 とおけば と表せる。 は に関して を反射した方向なので、単位ベクトルの反射公式で方向を出し、 軸との交点から を求める。無次元量 、 に直すと楕円 の一部になる。長さは 、 となるので、 を最小化する。
解答
(1)
とおく。点 は円 上にあり、 から 軸に平行に下ろした点であるから である。 から見たベクトルは である。 なので、 方向の単位ベクトルは である。また 方向の単位ベクトルは である。これを に関して反射した方向ベクトルは
である。
したがって直線 は と表される。 軸との交点では だから より である。よって の 座標は である。すなわち である。
(2)
(1)より である。したがって
である。 だから であり、両辺を2乗して を得る。
また より である。このとき だから である。したがって軌跡は、楕円 の上半分のうち、 に対応する左右2本の弧であり、 は含まず、 は含む。
(3)
である。また(1)の反射方向ベクトルは単位ベクトルなので、 の長さは、上で得たパラメータ値 に等しい。したがって である。ここで より である。 として を考えると である。したがって最小は で取られる。この値は に入っている。よって から であり、そのとき である。