問題
複素数平面上に，図のような原点を中心とする正五角形がある．ここで，頂点が表す複素数は1である．2頂点，の中点をとし，点が表す複素数をとする．
(1) がを満たすことを示せ．
(2) を求めよ．
出典：名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問(b)
方針
正五角形を単位円上に置くと、 と は実軸に関して対称な位置にあるため、中点 は実軸上にある。 は であり、 との関係を使って二次方程式を導く。最後は2つの解のうち、 が原点の左側にあること、すなわち から値を選ぶ。
解答
(1)
正五角形は原点を中心とする単位円上にあり、 が表す複素数は である。頂点を反時計回りに並べると である。これらは実軸に関して対称なので、中点 は実軸上にある。したがって は実数で、 である。
ここで と見るより、正五角形の対称性から と の関係を用いる。二倍角公式より である。また正五角形の5つの5乗根の和 から である。よって となり、整理して を得る。
(2)
(1)の二次方程式を解くと である。点 は正五角形の左側にあり、 であるから である。
別解。 とおくと、、 であり、 である。 と を組み合わせても同じ二次方程式が得られる。