名古屋大学 2000年度文系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $n$ に対して，不等式 $0 ≦ a ≦ 2 b ≦ c ≦ n$ を満たす整数の組 $(a, b, c)$ の個数を $P (n)$ とする．

(1) $P (5)$ を求めよ．

(2) 奇数 $n$ に対して， $P (n)$ を求めよ．

出典：名古屋大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

不等式 $0 ≦ a ≦ 2 b ≦ c ≦ n$ では、中央の $b$ を固定すると $a$ と $c$ の選び方が独立に数えられる。 $b$ は $2 b ≦ n$ を満たす範囲で動く。(1)は $n = 5$ として直接表にして数え、(2)は奇数 $n = 2 m + 1$ とおいて $b = 0, 1, \dots, m$ の和を計算する。

解答

(1)

$n = 5$ のとき、 $2 b ≦ 5$ より $b = 0, 1, 2$ である。 $b$ を固定すると、 $a$ は $0 ≦ a ≦ 2 b$ を満たす整数なので $2 b + 1$ 通り、 $c$ は $2 b ≦ c ≦ 5$ を満たす整数なので $6 - 2 b$ 通りである。したがって $P (5) = \sum_{b = 0}^{2} (2 b + 1) (6 - 2 b)$ である。具体的には $P (5) = 1 \cdot 6 + 3 \cdot 4 + 5 \cdot 2 = 28$ である。

(2)

$n$ が奇数なので $n = 2 m + 1$ とおく。 $2 b ≦ n$ より $b = 0, 1, \dots, m$ である。 $b$ を固定すると、 $a$ は $0$ から $2 b$ までの $2 b + 1$ 通りであり、 $c$ は $2 b$ から $2 m + 1$ までの $(2 m + 1) - 2 b + 1 = 2 m + 2 - 2 b$ 通りである。よって $P (n) = \sum_{b = 0}^{m} (2 b + 1) (2 m + 2 - 2 b)$ である。

和を整理する。 $(2 b + 1) (2 m + 2 - 2 b) = - 4 b^{2} + (4 m + 2) b + (2 m + 2)$ だから

P (n) = - 4 b = 0 \sum m b^{2} + (4 m + 2) b = 0 \sum m b + (2 m + 2) (m + 1) = - 4 \cdot \frac{m ( m + 1 ) ( 2 m + 1 )}{6} + (4 m + 2) \cdot \frac{m ( m + 1 )}{2} + 2 (m + 1)^{2} = \frac{( m + 1 ) ( m + 2 ) ( 2 m + 3 )}{3}

である。ここに $m = (n - 1) /2$ を代入して $P (n) = \frac{( n + 1 ) ( n + 2 ) ( n + 3 )}{12}$ である。

名古屋大学 2000年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2000年度
文系数学第2問