問題
，を実数とする．平面上で，直線は曲線と，座標がを満たす点で接しているとする．
(1) このときの点の存在範囲を求め，平面上に図示せよ．
(2) 曲線および3つの直線，，で囲まれた図形の面積を最小にする，の値と，このときの面積を求めよ．
出典：名古屋大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
接点の 座標を とおいて、接線の傾きと切片を で表す。 がそのまま の存在範囲を決める。面積は、放物線とその接線の差が完全平方 になることを使えば、積分を短く正確に処理できる。最後は を で最小化し、接線の へ戻す。
解答
(1)
曲線 は である。接点の 座標を とする。ただし問題の条件より である。曲線の導関数は だから、接線の傾きは である。また接点は なので、接線 に代入して より を得る。
したがって である。 を代入すれば であり、 から である。よって 平面上の存在範囲は で表される放物線の弧である。
(2)
接線と曲線の差を計算する。上の を用いると である。整理して となる。これは常に 以上であるから、囲まれた図形の面積は である。
積分すると
である。平方完成すると である。 なので、最小値は で取られ、その値は である。このとき である。
別解。 は、区間 上の点 から までの二乗距離の総和である。この総和は区間の中心 で最小になる、と見ても同じ結論が得られる。