名古屋大学 2000年度文系数学第3問(a) 解答・解説

問題

座標空間内に4点 $P (3, 1, 4)$ ， $A (1, 2, 3)$ ， $B (1, 1, 2)$ ， $C (2, 1, 1)$ がある．直線 $P A$ と $x y$ 平面の交点を $A^{'}$ ，直線 $P B$ と $x y$ 平面の交点を $B^{'}$ ，直線 $P C$ と $x y$ 平面の交点を $C^{'}$ とする．

(1) $△ A B C$ の面積を求めよ．

(2) $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ の面積を求めよ．

出典：名古屋大学 2000年度前期日程第2次学力試験文系第3問(a)

方針

三角形 $A B C$ の面積は2本の辺ベクトルから外積の大きさを計算して求める。 $x y$ 平面との交点は、各直線 $P A, P B, P C$ を $P + λ (A - P)$ の形で表し、 $z = 0$ を代入して求める。 $A^{'}, B^{'}, C^{'}$ はすべて $x y$ 平面上にあるので、(2)の面積は2次元の底辺と高さで計算できる。

解答

(1)

点 $A$ を基準にして

A B = B - A = (0, - 1, - 1), A C = C - A = (1, - 1, - 2)

である。外積の成分を計算すると $A B \times A C = (1, - 1, 1)$ であるから

∣ A B \times A C ∣ = 1^{2} + (- 1)^{2} + 1^{2} = 3

である。したがって

[A B C] = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣ = \frac{3}{2}

である。

(2)

直線 $P A$ 上の点は $P + λ (A - P) = (3, 1, 4) + λ (- 2, 1, - 1)$ である。 $x y$ 平面との交点では $z = 0$ なので $4 - λ = 0$ より $λ = 4$ である。したがって $A^{'} = (- 5, 5, 0)$ である。

同様に、直線 $P B$ 上の点は $(3, 1, 4) + λ (- 2, 0, - 2)$ であり、 $4 - 2 λ = 0$ から $λ = 2$ 、よって $B^{'} = (- 1, 1, 0)$ である。直線 $P C$ 上の点は $(3, 1, 4) + λ (- 1, 0, - 3)$ であり、 $4 - 3 λ = 0$ から $λ = 4/3$ 、よって $C^{'} = (\frac{5}{3}, 1, 0)$ である。

3点は $x y$ 平面上にある。 $B^{'} C^{'}$ は $y = 1$ 上の水平な線分で、その長さは $\frac{5}{3} - (- 1) = \frac{8}{3}$ である。また $A^{'}$ の $y$ 座標は $5$ なので、直線 $B^{'} C^{'}$ までの高さは $5 - 1 = 4$ である。したがって $[A^{'} B^{'} C^{'}] = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} \cdot 4 = \frac{16}{3}$ である。

名古屋大学 2000年度文系数学 第3問(a)

問題

方針

解答

(1)

(2)

名古屋大学 2000年度
文系数学第3問(a)